Subgroups — C₃₁×#18526 #21475285

Order 7936.

1068 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃₁×#559	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₃₁×#3151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₃₁×#3112	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₃₁×#1630	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₃₁×#1620	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₃₁×#1555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₃₁×#1491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₃₁×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
9	C₃₁×#559	—	2	2	no	—
10	C₃₁×#559	—	2	4	no	—
11	C₃₁×#559	C₂²	1	4	yes	—
12	C₃₁×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₃₁×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₃₁×#124	—	2	2	no	—
15	C₂×C₃₁×#123	—	2	2	no	—
16	C₂×C₄×Q₈×C₃₁	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
18	C₃₁×#496	—	2	2	no	—
19	C₃₁×#493	C₂²	1	2	yes	—
20	C₃₁×#492	C₂²	1	2	yes	—
21	C₃₁×#480	—	2	2	no	—
22	C₃₁×#477	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₃₁×#460	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₃₁×#448	—	2	2	no	—
25	C₃₁×#440	—	2	4	no	—
26	C₃₁×#432	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×M₁₆×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₃₁×#331	C₂²	1	4	yes	—
29	C₃₁×Q₈⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
30	C₂×#41×C₃₁	—	2	1	no	—
31	C₂²×Q₈×C₃₁	D₄	1	2	yes	—
32	C₂²×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
33	C₂²×D₄×C₃₁	D₄	1	2	yes	—
34	C₂³×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
35	C₃₁×AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
36	C₂×SD₁₆×C₃₁	—	2	4	no	—
37	C₂×SD₁₆×C₃₁	—	2	4	no	—
38	C₂×D₈×C₃₁	—	2	4	no	—
39	C₂×M₁₆×C₃₁	—	2	1	no	—
40	C₃₁×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₃₁×#127	—	2	2	no	—
42	C₃₁×#127	D₄	1	2	yes	—
43	C₃₁×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₃₁×#127	C₂³	1	2	yes	—
45	C₃₁×#124	—	2	8	no	—
46	C₃₁×#124	—	2	8	no	—
47	C₃₁×#124	—	2	1	no	—
48	C₃₁×#123	—	2	8	no	—
49	C₃₁×#123	—	2	8	no	—
50	C₃₁×#121	—	2	2	no	—
51	C₄×Q₈×C₃₁	—	2	2	no	—
52	C₄×Q₈×C₃₁	—	2	2	no	—
53	C₄×Q₈×C₃₁	D₄	1	4	yes	—
54	C₄×Q₈×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
55	C₄×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
56	C₄×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
57	C₄×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄²×C₃₁	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄²×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₃₁×#107	—	2	4	no	—
65	C₃₁×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
66	C₃₁×#103	—	2	4	no	—
67	C₃₁×#102	—	2	4	no	—
68	C₃₁×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₃₁×#97	—	2	1	no	—
70	C₃₁×#97	—	2	2	no	—
71	C₄×C₈×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂⁴×C₃₁	—	2	2	no	—
73	#41×C₃₁	—	4	4	no	—
74	C₂×Q₈×C₃₁	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₃₁	—	2	1	no	—
76	C₂×Q₈×C₃₁	—	4	4	no	—
77	C₂×Q₈×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
79	C₂×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
80	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
81	C₂×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
82	C₂×D₄×C₃₁	—	2	1	no	—
83	C₂×D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
84	C₂×D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
85	C₂×D₄×C₃₁	—	4	1	no	—
86	C₂×D₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
90	C₂²×C₄×C₃₁	—	4	1	no	—
91	C₂²×C₄×C₃₁	—	8	4	no	—
92	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	SD₁₆×C₃₁	—	4	8	no	—
95	SD₁₆×C₃₁	—	4	8	no	—
96	D₈×C₃₁	—	4	8	no	—
97	M₁₆×C₃₁	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈×C₃₁	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈×C₃₁	—	2	4	no	—
100	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
101	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
103	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	16	no	—
106	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
107	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	4	2	no	—
108	C₄²×C₃₁	—	2	4	no	—
109	C₄²×C₃₁	—	2	4	no	—
110	C₄²×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₄²×C₃₁	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄²×C₃₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	#18526	C₃₁	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
114	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
116	C₂³×C₃₁	—	4	4	no	—
117	C₂³×C₃₁	—	4	1	no	—
118	C₂³×C₃₁	#120	1	1	yes	characteristic
119	Q₈×C₃₁	—	2	4	no	—
120	Q₈×C₃₁	—	2	4	no	—
121	Q₈×C₃₁	—	4	4	no	—
122	Q₈×C₃₁	—	4	2	no	—
123	D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
124	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
125	D₄×C₃₁	—	4	2	no	—
126	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
127	D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
128	D₄×C₃₁	—	8	2	no	—
129	D₄×C₃₁	—	8	2	no	—
130	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄×C₃₁	—	4	1	no	—
137	C₂×C₄×C₃₁	—	8	2	no	—
138	C₂×C₄×C₃₁	—	8	8	no	—
139	C₂×C₄×C₃₁	#120	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₃₁	#120	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₃₁	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₃₁	C₂²×D₄	1	2	yes	—
143	C₈×C₃₁	—	2	4	no	—
144	C₈×C₃₁	—	4	4	no	—
145	C₂×#559	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
146	#3151	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic
147	#3112	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
148	#1630	C₂×C₃₁	1	4	yes	complemented
149	#1620	C₂×C₃₁	1	4	yes	complemented
150	#1555	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
151	#1491	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
152	C₂²×C₃₁	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₃₁	—	4	8	no	—
154	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
155	C₂²×C₃₁	—	8	8	no	—
156	C₂²×C₃₁	—	8	2	no	—
157	C₂²×C₃₁	—	8	1	no	—
158	C₂²×C₃₁	#453	1	2	yes	—
159	C₂²×C₃₁	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
160	C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
161	C₄×C₃₁	—	2	1	no	—
162	C₄×C₃₁	—	2	1	no	—
163	C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
164	C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
165	C₄×C₃₁	—	8	1	no	—
166	C₄×C₃₁	#575	1	4	yes	—
167	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
168	#559	—	2	2	no	—
169	#559	—	2	4	no	—
170	#559	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
171	#532	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
172	C₂×#127	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
173	C₂×#124	—	2	2	no	—
174	C₂×#123	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄×Q₈	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
176	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
177	#496	—	2	2	no	—
178	#493	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
179	#492	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
180	#480	—	2	2	no	—
181	#477	C₂²×C₃₁	1	4	yes	complemented
182	#460	C₂²×C₃₁	1	4	yes	complemented
183	#448	—	2	2	no	—
184	#440	—	2	4	no	—
185	#432	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
186	C₄×M₁₆	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
187	#331	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
188	Q₈⋊C₈	C₂²×C₃₁	1	8	yes	complemented
189	C₂×C₃₁	—	2	2	no	—
190	C₂×C₃₁	—	8	4	no	—
191	C₂×C₃₁	—	16	1	no	—
192	C₂×C₃₁	#3005	1	2	yes	—
193	C₂×C₃₁	C₂×#453	1	1	yes	characteristic
194	C₂×#41	—	2	1	no	—
195	C₂²×Q₈	D₄×C₃₁	1	2	yes	—
196	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×D₄	D₄×C₃₁	1	2	yes	—
198	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
199	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
200	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
201	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
202	C₂×D₈	—	2	4	no	—
203	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
204	C₄⋊Q₈	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
205	#127	—	2	2	no	—
206	#127	D₄×C₃₁	1	2	yes	—
207	#127	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
208	#127	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
209	#124	—	2	8	no	—
210	#124	—	2	8	no	—
211	#124	—	2	1	no	—
212	#123	—	2	8	no	—
213	#123	—	2	8	no	—
214	#121	—	2	2	no	—
215	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₄×Q₈	D₄×C₃₁	1	4	yes	—
218	C₄×Q₈	C₂³×C₃₁	1	4	yes	—
219	C₄×D₄	—	2	8	no	—
220	C₄×D₄	—	2	8	no	—
221	C₄×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	D₄×C₃₁	1	2	yes	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄²	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
228	#107	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₈	C₂³×C₃₁	1	4	yes	—
230	#103	—	2	4	no	—
231	#102	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
233	#97	—	2	1	no	—
234	#97	—	2	2	no	—
235	C₄×C₈	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
236	C₃₁	#18526	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
237	C₂⁴	—	2	2	no	—
238	#41	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×Q₈	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	1	no	—
248	C₂×D₄	—	4	8	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	1	no	—
251	C₂×D₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
257	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
259	SD₁₆	—	4	8	no	—
260	SD₁₆	—	4	8	no	—
261	D₈	—	4	8	no	—
262	M₁₆	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
276	C₄²	C₂×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂⁴×C₃₁	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	1	no	—
282	C₂³	C₃₁×#120	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	2	4	no	—
284	Q₈	—	2	4	no	—
285	Q₈	—	4	4	no	—
286	Q₈	—	4	2	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	8	no	—
289	D₄	—	4	2	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	D₄	—	8	2	no	—
293	D₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	1	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	8	no	—
303	C₂×C₄	C₃₁×#120	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₃₁×#120	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
307	C₈	—	2	4	no	—
308	C₈	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	4	8	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	8	8	no	—
313	C₂²	—	8	2	no	—
314	C₂²	—	8	1	no	—
315	C₂²	C₃₁×#453	1	2	yes	—
316	C₂²	C₂×C₃₁×#120	1	1	yes	characteristic
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	1	no	—
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	4	4	no	—
321	C₄	—	4	4	no	—
322	C₄	—	8	1	no	—
323	C₄	C₃₁×#575	1	4	yes	—
324	C₂	—	2	2	no	—
325	C₂	—	8	4	no	—
326	C₂	—	16	1	no	—
327	C₂	C₃₁×#3005	1	2	yes	—
328	C₂	C₂×C₃₁×#453	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₃₁	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴×C₃₁
prime radical	C₃₁×#3151	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₃₁ ◁ C₂×C₄²×C₃₁ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₃₁×#559	C₂	semidirect
3. C₃₁×#3112	C₂	semidirect
4. C₃₁×#1630	C₂	semidirect
5. C₃₁×#1620	C₂	semidirect
6. C₃₁×#1555	C₂	semidirect
7. C₃₁×#1491	C₂	semidirect
22. C₃₁×#477	C₂²	semidirect
23. C₃₁×#460	C₂²	semidirect
29. C₃₁×Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect
113. #18526	C₃₁	direct (N × H)
145. C₂×#559	C₂×C₃₁	semidirect
147. #3112	C₂×C₃₁	semidirect
148. #1630	C₂×C₃₁	semidirect
149. #1620	C₂×C₃₁	semidirect
150. #1555	C₂×C₃₁	semidirect
151. #1491	C₂×C₃₁	semidirect
181. #477	C₂²×C₃₁	semidirect
182. #460	C₂²×C₃₁	semidirect
188. Q₈⋊C₈	C₂²×C₃₁	semidirect
236. C₃₁	#18526	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃₁×#559	2
C₃₁×#3151	2
C₃₁×#3112	2
C₃₁×#1630	2
C₃₁×#1620	2
C₃₁×#1555	2
C₃₁×#1491	2
#18526	31

Subgroups — C31×#18526 #21475285

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₃₁×#18526 #21475285