Subgroups — C₃₁×#18691 #21475450

Order 7936.

996 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₃₁×#3549	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₃₁×#3254	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₃₁×#3131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₃₁×#1646	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₃₁×#1639	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₃₁×#1560	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₃₁×#1492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₃₁×H(3,𝔽₄)	—	2	2	no	—
9	C₃₁×#555	—	2	2	no	—
10	C₃₁×#555	C₂²	1	2	yes	—
11	D₄²×C₃₁	—	2	2	no	—
12	D₄²×C₃₁	C₂²	1	2	yes	—
13	C₃₁×#535	—	2	2	no	—
14	C₃₁×#535	—	2	4	no	—
15	C₃₁×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₃₁×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₃₁×#532	C₂²	1	2	yes	—
18	C₃₁×#488	—	2	2	no	—
19	C₃₁×#487	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₃₁×#486	C₂²	1	2	yes	—
21	C₃₁×#477	—	2	2	no	—
22	C₃₁×#474	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₃₁×#468	—	2	4	no	—
24	C₃₁×#461	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₃₁×#460	—	2	2	no	—
26	C₃₁×#423	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₃₁×#416	—	2	2	no	—
28	C₂×C₄×C₈×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₃₁×#333	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₃₁×#331	C₂²	1	2	yes	—
31	C₃₁×D₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
32	C₂×#41×C₃₁	—	2	2	no	—
33	C₂×#41×C₃₁	D₄	1	2	yes	—
34	C₂²×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
35	C₂²×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
36	C₂×SD₁₆×C₃₁	—	2	4	no	—
37	C₂×M₁₆×C₃₁	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₈×C₃₁	—	2	1	no	—
39	C₃₁×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
40	C₃₁×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₃₁×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₃₁×#127	—	2	4	no	—
43	C₃₁×#127	D₄	1	2	yes	—
44	C₃₁×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₃₁×#125	—	2	1	no	—
46	C₃₁×#124	—	2	8	no	—
47	C₃₁×#124	—	2	4	no	—
48	C₃₁×#124	—	2	2	no	—
49	C₃₁×#124	D₄	1	2	yes	—
50	C₃₁×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₃₁×#121	—	2	4	no	—
52	C₃₁×#121	—	2	4	no	—
53	C₃₁×#121	—	2	2	no	—
54	C₃₁×#121	—	2	2	no	—
55	C₃₁×#121	—	2	4	no	—
56	C₃₁×#121	D₄	1	4	yes	—
57	C₃₁×#120	—	2	4	no	—
58	C₃₁×#120	—	2	8	no	—
59	C₃₁×#120	—	2	4	no	—
60	C₄×Q₈×C₃₁	—	2	2	no	—
61	C₄×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
62	C₄×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
63	C₄×D₄×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
64	C₃₁×#117	—	2	2	no	—
65	C₃₁×#117	—	2	4	no	—
66	C₃₁×#117	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄²×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₃₁×#107	—	2	4	no	—
69	C₃₁×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₃₁×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₃₁×#103	—	2	4	no	—
72	C₃₁×#103	—	2	4	no	—
73	C₃₁×#102	—	2	4	no	—
74	C₃₁×#102	—	2	4	no	—
75	C₄×C₈×C₃₁	—	2	1	no	—
76	C₄×C₈×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂⁴×C₃₁	—	2	4	no	—
78	#41×C₃₁	—	4	4	no	—
79	#41×C₃₁	—	8	2	no	—
80	#41×C₃₁	—	8	2	no	—
81	C₂×Q₈×C₃₁	—	2	2	no	—
82	C₂×Q₈×C₃₁	—	2	2	no	—
83	C₂×Q₈×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
85	C₂×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
86	C₂×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
87	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
88	C₂×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
89	C₂×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
90	C₂×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
91	C₂×D₄×C₃₁	—	8	4	no	—
92	C₂×D₄×C₃₁	—	8	4	no	—
93	C₂×D₄×C₃₁	—	8	4	no	—
94	C₂×D₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂×D₄×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	SD₁₆×C₃₁	—	8	4	no	—
101	M₁₆×C₃₁	—	8	2	no	—
102	C₂×C₈×C₃₁	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈×C₃₁	—	2	4	no	—
104	C₂×C₈×C₃₁	—	4	2	no	—
105	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
106	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
107	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
108	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₄×C₃₁	—	4	2	no	—
110	C₄⋊C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
112	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
114	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
115	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
116	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	4	1	no	—
117	C₄²×C₃₁	—	2	4	no	—
118	C₄²×C₃₁	—	4	1	no	—
119	C₄²×C₃₁	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄²×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₄²×C₃₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	#18691	C₃₁	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
123	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
124	C₂³×C₃₁	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₃₁	—	8	8	no	—
126	C₂³×C₃₁	—	8	4	no	—
127	C₂³×C₃₁	#120	1	1	yes	characteristic
128	Q₈×C₃₁	—	4	2	no	—
129	Q₈×C₃₁	—	4	2	no	—
130	Q₈×C₃₁	—	4	2	no	—
131	Q₈×C₃₁	—	8	2	no	—
132	D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
133	D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
134	D₄×C₃₁	—	4	2	no	—
135	D₄×C₃₁	—	4	2	no	—
136	D₄×C₃₁	—	4	2	no	—
137	D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
138	D₄×C₃₁	—	8	2	no	—
139	D₄×C₃₁	—	8	2	no	—
140	D₄×C₃₁	—	8	4	no	—
141	D₄×C₃₁	—	8	8	no	—
142	D₄×C₃₁	—	8	4	no	—
143	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄×C₃₁	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄×C₃₁	#120	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₃₁	#120	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₃₁	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₃₁	C₂²×D₄	1	2	yes	—
156	C₈×C₃₁	—	4	2	no	—
157	C₈×C₃₁	—	4	4	no	—
158	#3549	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic
159	#3254	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
160	#3131	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
161	#1646	C₂×C₃₁	1	4	yes	complemented
162	#1639	C₂×C₃₁	1	4	yes	complemented
163	#1560	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
164	#1492	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
165	C₂²×C₃₁	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₃₁	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₃₁	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₃₁	—	16	8	no	—
173	C₂²×C₃₁	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
175	C₄×C₃₁	—	2	1	no	—
176	C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
177	C₄×C₃₁	—	4	2	no	—
178	C₄×C₃₁	—	8	2	no	—
179	C₄×C₃₁	#455	1	2	yes	—
180	C₄×C₃₁	#576	1	2	yes	—
181	C₄×C₃₁	#577	1	2	yes	—
182	H(3,𝔽₄)	—	2	2	no	—
183	#555	—	2	2	no	—
184	#555	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
185	D₄²	—	2	2	no	—
186	D₄²	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
187	#535	—	2	2	no	—
188	#535	—	2	4	no	—
189	#533	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
190	#532	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
191	#532	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
192	#488	—	2	2	no	—
193	#487	C₂²×C₃₁	1	2	yes	complemented
194	#486	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
195	#477	—	2	2	no	—
196	#474	C₂²×C₃₁	1	4	yes	complemented
197	#468	—	2	4	no	—
198	#461	C₂²×C₃₁	1	4	yes	complemented
199	#460	—	2	2	no	—
200	#423	C₂²×C₃₁	1	2	yes	complemented
201	#416	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄×C₈	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
203	#333	C₂²×C₃₁	1	2	yes	complemented
204	#331	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
205	D₄⋊C₈	C₂²×C₃₁	1	8	yes	complemented
206	C₂×C₃₁	—	4	1	no	—
207	C₂×C₃₁	—	8	4	no	—
208	C₂×C₃₁	—	8	2	no	—
209	C₂×C₃₁	#3012	1	2	yes	—
210	C₂×C₃₁	C₂×#455	1	1	yes	characteristic
211	C₂×#41	—	2	2	no	—
212	C₂×#41	D₄×C₃₁	1	2	yes	—
213	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
216	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
218	C₄⋊Q₈	D₄×C₃₁	1	2	yes	—
219	C₄⋊Q₈	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
220	C₄⋊Q₈	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
221	#127	—	2	4	no	—
222	#127	D₄×C₃₁	1	2	yes	—
223	#127	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
224	#125	—	2	1	no	—
225	#124	—	2	8	no	—
226	#124	—	2	4	no	—
227	#124	—	2	2	no	—
228	#124	D₄×C₃₁	1	2	yes	—
229	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
230	#121	—	2	4	no	—
231	#121	—	2	4	no	—
232	#121	—	2	2	no	—
233	#121	—	2	2	no	—
234	#121	—	2	4	no	—
235	#121	D₄×C₃₁	1	4	yes	—
236	#120	—	2	4	no	—
237	#120	—	2	8	no	—
238	#120	—	2	4	no	—
239	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₄×D₄	—	2	2	no	—
241	C₄×D₄	—	2	2	no	—
242	C₄×D₄	C₂³×C₃₁	1	4	yes	—
243	#117	—	2	2	no	—
244	#117	—	2	4	no	—
245	#117	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄²	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
247	#107	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₈	C₂³×C₃₁	1	4	yes	—
250	#103	—	2	4	no	—
251	#103	—	2	4	no	—
252	#102	—	2	4	no	—
253	#102	—	2	4	no	—
254	C₄×C₈	—	2	1	no	—
255	C₄×C₈	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
256	C₃₁	#18691	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
257	C₂⁴	—	2	4	no	—
258	#41	—	4	4	no	—
259	#41	—	8	2	no	—
260	#41	—	8	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
263	C₂×Q₈	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
264	C₂×D₄	—	2	4	no	—
265	C₂×D₄	—	2	8	no	—
266	C₂×D₄	—	2	2	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	2	no	—
269	C₂×D₄	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	2	2	no	—
271	C₂×D₄	—	8	4	no	—
272	C₂×D₄	—	8	4	no	—
273	C₂×D₄	—	8	4	no	—
274	C₂×D₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
275	C₂×D₄	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
280	SD₁₆	—	8	4	no	—
281	M₁₆	—	8	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	—	4	1	no	—
299	C₄²	C₂×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
301	C₄²	C₂⁴×C₃₁	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	8	8	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	C₃₁×#120	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	4	2	no	—
308	Q₈	—	4	2	no	—
309	Q₈	—	4	2	no	—
310	Q₈	—	8	2	no	—
311	D₄	—	2	4	no	—
312	D₄	—	2	4	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	4	4	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	D₄	—	4	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	8	8	no	—
321	D₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	C₃₁×#120	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₃₁×#120	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
335	C₈	—	4	2	no	—
336	C₈	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	16	8	no	—
345	C₂²	C₂×C₃₁×#120	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	4	4	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	8	2	no	—
351	C₄	C₃₁×#455	1	2	yes	—
352	C₄	C₃₁×#576	1	2	yes	—
353	C₄	C₃₁×#577	1	2	yes	—
354	C₂	—	4	1	no	—
355	C₂	—	8	4	no	—
356	C₂	—	8	2	no	—
357	C₂	C₃₁×#3012	1	2	yes	—
358	C₂	C₂×C₃₁×#455	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₃₁	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁴×C₃₁
prime radical	C₃₁×#3549	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₃₁ ◁ C₂×C₄²×C₃₁ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₃₁×#3254	C₂	semidirect
3. C₃₁×#3131	C₂	semidirect
4. C₃₁×#1646	C₂	semidirect
5. C₃₁×#1639	C₂	semidirect
6. C₃₁×#1560	C₂	semidirect
7. C₃₁×#1492	C₂	semidirect
15. C₃₁×#533	C₂²	semidirect
19. C₃₁×#487	C₂²	semidirect
22. C₃₁×#474	C₂²	semidirect
24. C₃₁×#461	C₂²	semidirect
26. C₃₁×#423	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×C₈×C₃₁	C₂²	semidirect
29. C₃₁×#333	C₂²	semidirect
31. C₃₁×D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
122. #18691	C₃₁	direct (N × H)
159. #3254	C₂×C₃₁	semidirect
160. #3131	C₂×C₃₁	semidirect
161. #1646	C₂×C₃₁	semidirect
162. #1639	C₂×C₃₁	semidirect
163. #1560	C₂×C₃₁	semidirect
164. #1492	C₂×C₃₁	semidirect
189. #533	C₂²×C₃₁	semidirect
193. #487	C₂²×C₃₁	semidirect
196. #474	C₂²×C₃₁	semidirect
198. #461	C₂²×C₃₁	semidirect
200. #423	C₂²×C₃₁	semidirect
202. C₂×C₄×C₈	C₂²×C₃₁	semidirect
203. #333	C₂²×C₃₁	semidirect
205. D₄⋊C₈	C₂²×C₃₁	semidirect
256. C₃₁	#18691	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₃₁×#3549	2
C₃₁×#3254	2
C₃₁×#3131	2
C₃₁×#1646	2
C₃₁×#1639	2
C₃₁×#1560	2
C₃₁×#1492	2
#18691	31

Subgroups — C31×#18691 #21475450

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₃₁×#18691 #21475450