Subgroups — C₃₁×#21214 #21477973

Order 7936.

1598 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃₁×#537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₃₁×#410	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₃₁×#2316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₃₁×#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₃₁×#1964	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#41×C₃₁	C₂²	1	2	yes	—
7	C₃₁×#537	—	2	4	no	—
8	C₃₁×#537	—	2	4	no	—
9	C₂×C₃₁×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	complemented
10	C₂×C₃₁×#121	C₄	1	4	yes	complemented
11	C₂×C₃₁×#121	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₃₁×#117	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₃₁×#117	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₃₁×#410	—	2	16	no	—
16	C₂×C₃₁×#99	C₂²	1	16	yes	—
17	C₃₁×#389	—	2	4	no	—
18	C₃₁×#380	C₂²	1	4	yes	—
19	C₄×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
20	C₄×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#41×C₃₁	—	2	8	no	—
22	C₂×#41×C₃₁	—	2	4	no	—
23	C₂×#41×C₃₁	—	2	4	no	—
24	C₂×#41×C₃₁	—	2	8	no	—
25	C₂²×Q₈×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
27	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂²×D₄×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
29	C₂³×C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
30	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₃₁×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
33	C₃₁×#121	—	2	8	no	—
34	C₃₁×#121	—	2	8	no	—
35	C₃₁×#121	—	2	16	no	—
36	C₃₁×#117	—	2	4	no	—
37	C₃₁×#117	—	2	8	no	—
38	C₃₁×#117	D₄	1	8	yes	complemented
39	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	D₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	D₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×C₄²×C₃₁	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄²×C₃₁	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄²×C₃₁	—	2	4	no	—
52	C₃₁×#99	—	2	32	no	—
53	C₃₁×#95	—	2	4	no	—
54	C₃₁×#95	—	2	4	no	—
55	C₂⁴×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
56	C₂⁴×C₃₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
57	#41×C₃₁	—	4	8	no	—
58	#41×C₃₁	—	4	8	no	—
59	#41×C₃₁	—	4	8	no	—
60	#41×C₃₁	—	4	8	no	—
61	C₂×Q₈×C₃₁	—	2	4	no	—
62	C₂×Q₈×C₃₁	—	2	8	no	—
63	C₂×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
64	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
65	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
66	C₂×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
67	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
68	C₂×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
69	C₂×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
70	C₂×D₄×C₃₁	—	8	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
73	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	16	no	—
74	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄×C₃₁	—	8	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₃₁	#41	1	4	yes	—
85	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
86	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
87	C₄⋊C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
88	C₄⋊C₄×C₃₁	—	8	4	no	—
89	C₄⋊C₄×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
90	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
91	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	16	no	—
92	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
93	C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	8	yes	—
94	C₄²×C₃₁	—	2	8	no	—
95	C₄²×C₃₁	—	4	4	no	—
96	C₄²×C₃₁	—	8	4	no	—
97	#21214	C₃₁	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
98	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₃₁	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₃₁	—	4	1	no	—
101	C₂³×C₃₁	—	4	1	no	—
102	C₂³×C₃₁	—	4	4	no	—
103	C₂³×C₃₁	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₃₁	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₃₁	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₃₁	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₃₁	C₂²×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₃₁	C₂×#41	1	2	yes	—
109	Q₈×C₃₁	—	4	8	no	—
110	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
111	D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
112	D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
113	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
114	D₄×C₃₁	—	8	8	no	—
115	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄×C₃₁	—	4	16	no	—
124	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
128	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₃₁	C₄×D₄	1	8	yes	—
130	C₂×C₄×C₃₁	#121	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₃₁	#121	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₃₁	#124	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₃₁	#127	1	4	yes	—
134	C₂×#537	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic
135	C₂×#410	C₂×C₃₁	1	4	yes	complemented
136	#2316	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
137	#2274	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
138	#1964	C₂×C₃₁	1	8	yes	complemented
139	C₂²×C₃₁	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₃₁	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₃₁	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₃₁	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₃₁	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₃₁	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₃₁	—	4	2	no	—
146	C₂²×C₃₁	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₃₁	—	8	8	no	—
151	C₂²×C₃₁	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₃₁	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₃₁	C₂×#121	1	2	yes	—
154	C₂²×C₃₁	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₃₁	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
156	C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
157	C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
158	C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
159	C₄×C₃₁	—	8	4	no	—
160	C₄×C₃₁	#390	1	8	yes	—
161	C₂²×#41	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
162	#537	—	2	4	no	—
163	#537	—	2	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄×C₃₁	1	4	yes	complemented
165	C₂×#121	C₄×C₃₁	1	4	yes	complemented
166	C₂×#121	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
167	C₂×#117	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
168	C₂×#117	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
170	#410	—	2	16	no	—
171	C₂×#99	C₂²×C₃₁	1	16	yes	—
172	#389	—	2	4	no	—
173	#380	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
174	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
176	C₂×C₃₁	—	2	2	no	—
177	C₂×C₃₁	—	2	1	no	—
178	C₂×C₃₁	—	2	2	no	—
179	C₂×C₃₁	—	2	1	no	—
180	C₂×C₃₁	—	8	4	no	—
181	C₂×C₃₁	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₃₁	#2883	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₃₁	#2884	1	1	yes	characteristic
184	C₂×#41	—	2	4	no	—
185	C₂×#41	—	2	4	no	—
186	C₂×#41	—	2	8	no	—
187	C₂×#41	—	2	8	no	—
188	C₂²×Q₈	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
189	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
190	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
191	C₂²×D₄	C₂³×C₃₁	1	4	yes	—
192	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
193	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
194	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
195	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
196	#121	—	2	8	no	—
197	#121	—	2	8	no	—
198	#121	—	2	16	no	—
199	#117	—	2	4	no	—
200	#117	—	2	8	no	—
201	#117	D₄×C₃₁	1	8	yes	complemented
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	D₄×C₃₁	1	4	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	D₄×C₃₁	1	4	yes	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	8	yes	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³×C₃₁	1	4	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³×C₃₁	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
215	#99	—	2	32	no	—
216	#95	—	2	4	no	—
217	#95	—	2	4	no	—
218	C₃₁	#21214	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
219	C₂⁴	C₂²×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
220	C₂⁴	C₂⁴×C₃₁	1	1	yes	characteristic
221	#41	—	4	8	no	—
222	#41	—	4	8	no	—
223	#41	—	4	8	no	—
224	#41	—	4	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	8	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	8	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	8	no	—
233	C₂×D₄	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	—	8	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
240	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	#41×C₃₁	1	4	yes	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
253	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	16	yes	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	8	yes	—
258	C₄²	—	2	8	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	—	8	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	4	1	no	—
264	C₂³	—	4	1	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	4	4	no	—
267	C₂³	C₂³×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂²×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂²×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	C₂²×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×#41×C₃₁	1	2	yes	—
272	Q₈	—	4	8	no	—
273	D₄	—	4	8	no	—
274	D₄	—	4	4	no	—
275	D₄	—	4	4	no	—
276	D₄	—	4	8	no	—
277	D₄	—	8	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	16	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₄×D₄×C₃₁	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	C₃₁×#121	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₃₁×#121	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₃₁×#124	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₃₁×#127	1	4	yes	—
297	C₂²	—	2	1	no	—
298	C₂²	—	2	1	no	—
299	C₂²	—	2	1	no	—
300	C₂²	—	2	1	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	1	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	4	4	no	—
308	C₂²	—	8	8	no	—
309	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×C₄×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
311	C₂²	C₂×C₃₁×#121	1	2	yes	—
312	C₂²	C₂×C₃₁×#124	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×C₃₁×#127	1	1	yes	characteristic
314	C₄	—	2	8	no	—
315	C₄	—	4	8	no	—
316	C₄	—	4	4	no	—
317	C₄	—	8	4	no	—
318	C₄	C₃₁×#390	1	8	yes	—
319	C₂	—	2	2	no	—
320	C₂	—	2	1	no	—
321	C₂	—	2	2	no	—
322	C₂	—	2	1	no	—
323	C₂	—	8	4	no	—
324	C₂	C₂×C₃₁×#390	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₃₁×#2883	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₃₁×#2884	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₃₁	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄×C₃₁
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁴×C₃₁
prime radical	C₂×C₃₁×#537	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₃₁ ◁ C₂²×C₄⋊C₄×C₃₁ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₃₁×#410	C₂	semidirect
3. C₃₁×#2316	C₂	semidirect
4. C₃₁×#2274	C₂	semidirect
5. C₃₁×#1964	C₂	semidirect
9. C₂×C₃₁×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
10. C₂×C₃₁×#121	C₄	semidirect
38. C₃₁×#117	D₄	semidirect
97. #21214	C₃₁	direct (N × H)
135. C₂×#410	C₂×C₃₁	semidirect
136. #2316	C₂×C₃₁	semidirect
137. #2274	C₂×C₃₁	semidirect
138. #1964	C₂×C₃₁	semidirect
164. C₂×C₂²⋊Q₈	C₄×C₃₁	semidirect
165. C₂×#121	C₄×C₃₁	semidirect
201. #117	D₄×C₃₁	semidirect
218. C₃₁	#21214	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃₁×#537	2
C₂×C₃₁×#410	2
C₃₁×#2316	2
C₃₁×#2274	2
C₃₁×#1964	2
#21214	31

Subgroups — C31×#21214 #21477973

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₃₁×#21214 #21477973