Subgroups — C₃₁×#21755 #21478514

Order 7936.

1446 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 288 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃₁×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₃₁×#2879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₃₁×#1900	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	C₃₁×#1822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₃₁×#1783	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#41×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂³×D₄×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×M₁₆×C₃₁	C₂²	1	4	yes	complemented
9	C₃₁×#535	—	2	8	no	—
10	C₂×C₃₁×#127	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₃₁×#124	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₃₁×#121	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₃₁×#120	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×C₃₁×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₃₁×#100	C₂²	1	8	yes	—
16	C₃₁×#408	—	2	8	no	—
17	C₃₁×#407	C₂²	1	4	yes	—
18	C₃₁×#407	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₃₁×#343	C₂²	1	8	yes	complemented
20	C₂⁵×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#41×C₃₁	—	4	4	no	—
22	C₂×#41×C₃₁	D₄	1	8	yes	—
23	C₂²×Q₈×C₃₁	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
25	C₂²×D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
26	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
27	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	8	yes	—
28	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×D₄×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂×M₁₆×C₃₁	—	2	4	no	—
34	C₂×M₁₆×C₃₁	—	4	8	no	—
35	C₂×M₁₆×C₃₁	C₂³	1	8	yes	—
36	C₂²×C₈×C₃₁	—	2	4	no	—
37	C₃₁×#127	—	2	8	no	—
38	C₃₁×#124	—	2	8	no	—
39	C₃₁×#121	—	2	8	no	—
40	C₃₁×#121	—	2	8	no	—
41	C₃₁×#120	—	2	16	no	—
42	C₃₁×#117	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₄²×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₃₁×#100	—	4	8	no	—
48	C₃₁×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
49	C₃₁×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
50	C₂⁴×C₃₁	—	2	4	no	—
51	C₂⁴×C₃₁	—	4	4	no	—
52	C₂⁴×C₃₁	—	8	4	no	—
53	C₂⁴×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
54	C₂⁴×C₃₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂⁴×C₃₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
56	#41×C₃₁	—	4	8	no	—
57	#41×C₃₁	—	4	8	no	—
58	C₂×Q₈×C₃₁	—	4	2	no	—
59	C₂×Q₈×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
60	C₂×D₄×C₃₁	—	2	16	no	—
61	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
62	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
63	C₂×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
64	C₂×D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
65	C₂×D₄×C₃₁	—	4	2	no	—
66	C₂×D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
67	C₂×D₄×C₃₁	—	4	16	no	—
68	C₂×D₄×C₃₁	—	8	8	no	—
69	C₂×D₄×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
70	C₂×D₄×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₃₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	M₁₆×C₃₁	—	2	16	no	—
81	M₁₆×C₃₁	—	4	8	no	—
82	C₂×C₈×C₃₁	—	2	8	no	—
83	C₂×C₈×C₃₁	—	4	8	no	—
84	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
85	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
86	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	16	no	—
87	C₄²×C₃₁	—	2	4	no	—
88	#21755	C₃₁	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
89	C₂³×C₃₁	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₃₁	—	2	8	no	—
93	C₂³×C₃₁	—	4	2	no	—
94	C₂³×C₃₁	—	4	4	no	—
95	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
96	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
97	C₂³×C₃₁	—	8	8	no	—
98	C₂³×C₃₁	—	8	16	no	—
99	C₂³×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₂³×C₃₁	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
102	Q₈×C₃₁	—	4	4	no	—
103	D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
104	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
105	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
106	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
107	D₄×C₃₁	—	8	16	no	—
108	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₃₁	C₂²×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₃₁	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
120	C₈×C₃₁	—	4	8	no	—
121	C₂×#535	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic
122	#2879	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
123	#1900	C₂×C₃₁	1	8	yes	complemented
124	#1822	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
125	#1783	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
126	C₂²×C₃₁	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₃₁	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₃₁	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
133	C₂²×C₃₁	—	4	8	no	—
134	C₂²×C₃₁	—	8	4	no	—
135	C₂²×C₃₁	—	8	8	no	—
136	C₂²×C₃₁	—	8	16	no	—
137	C₂²×C₃₁	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₃₁	#518	1	2	yes	—
139	C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
140	C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
141	C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
142	C₄×C₃₁	#534	1	4	yes	—
143	C₂²×#41	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
144	C₂³×D₄	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×M₁₆	C₂²×C₃₁	1	4	yes	complemented
146	#535	—	2	8	no	—
147	C₂×#127	C₄×C₃₁	1	2	yes	—
148	C₂×#124	C₄×C₃₁	1	2	yes	—
149	C₂×#121	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
150	C₂×#120	C₄×C₃₁	1	4	yes	—
151	C₂×#117	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
152	C₂×#100	C₂²×C₃₁	1	8	yes	—
153	#408	—	2	8	no	—
154	#407	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
155	#407	C₂²×C₃₁	1	4	yes	complemented
156	#343	C₂²×C₃₁	1	8	yes	complemented
157	C₂×C₃₁	—	2	2	no	—
158	C₂×C₃₁	—	4	2	no	—
159	C₂×C₃₁	—	4	4	no	—
160	C₂×C₃₁	—	8	4	no	—
161	C₂×C₃₁	#2308	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₃₁	#2888	1	2	yes	—
163	C₂⁵	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
164	C₂×#41	—	4	4	no	—
165	C₂×#41	D₄×C₃₁	1	8	yes	—
166	C₂²×Q₈	C₂×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
170	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	8	yes	—
171	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
172	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×D₄	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
174	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
175	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
176	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
177	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
178	C₂×M₁₆	C₂³×C₃₁	1	8	yes	—
179	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
180	#127	—	2	8	no	—
181	#124	—	2	8	no	—
182	#121	—	2	8	no	—
183	#121	—	2	8	no	—
184	#120	—	2	16	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	8	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
190	#100	—	4	8	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
193	C₃₁	#21755	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	4	4	no	—
196	C₂⁴	—	8	4	no	—
197	C₂⁴	C₂²×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
198	C₂⁴	C₂²×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
199	C₂⁴	C₂²×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
200	#41	—	4	8	no	—
201	#41	—	4	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
204	C₂×D₄	—	2	16	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	—	8	8	no	—
213	C₂×D₄	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	8	yes	—
214	C₂×D₄	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃₁	1	1	yes	characteristic
224	M₁₆	—	2	16	no	—
225	M₁₆	—	4	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	—	4	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	4	no	—
235	C₂³	—	2	8	no	—
236	C₂³	—	4	2	no	—
237	C₂³	—	4	4	no	—
238	C₂³	—	4	8	no	—
239	C₂³	—	4	8	no	—
240	C₂³	—	8	8	no	—
241	C₂³	—	8	16	no	—
242	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
244	C₂³	C₂³×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
245	Q₈	—	4	4	no	—
246	D₄	—	4	4	no	—
247	D₄	—	4	8	no	—
248	D₄	—	4	8	no	—
249	D₄	—	4	8	no	—
250	D₄	—	8	16	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₃₁×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
263	C₈	—	4	8	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	8	no	—
268	C₂²	—	2	4	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	4	4	no	—
271	C₂²	—	4	8	no	—
272	C₂²	—	8	4	no	—
273	C₂²	—	8	8	no	—
274	C₂²	—	8	16	no	—
275	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	C₃₁×#518	1	2	yes	—
277	C₄	—	2	2	no	—
278	C₄	—	2	4	no	—
279	C₄	—	4	4	no	—
280	C₄	C₃₁×#534	1	4	yes	—
281	C₂	—	2	2	no	—
282	C₂	—	4	2	no	—
283	C₂	—	4	4	no	—
284	C₂	—	8	4	no	—
285	C₂	C₃₁×#2308	1	1	yes	characteristic
286	C₂	C₃₁×#2888	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₃₁	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄×C₃₁
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃₁
prime radical	C₂×C₃₁×#535	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₃₁ ◁ C₂²×#41×C₃₁ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₃₁×#2879	C₂	semidirect
3. C₃₁×#1900	C₂	semidirect
4. C₃₁×#1822	C₂	semidirect
5. C₃₁×#1783	C₂	semidirect
8. C₂²×M₁₆×C₃₁	C₂²	semidirect
18. C₃₁×#407	C₂²	semidirect
19. C₃₁×#343	C₂²	semidirect
88. #21755	C₃₁	direct (N × H)
122. #2879	C₂×C₃₁	semidirect
123. #1900	C₂×C₃₁	semidirect
124. #1822	C₂×C₃₁	semidirect
125. #1783	C₂×C₃₁	semidirect
145. C₂²×M₁₆	C₂²×C₃₁	semidirect
155. #407	C₂²×C₃₁	semidirect
156. #343	C₂²×C₃₁	semidirect
193. C₃₁	#21755	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃₁×#535	2
C₃₁×#2879	2
C₃₁×#1900	2
C₃₁×#1822	2
C₃₁×#1783	2
#21755	31

Subgroups — C31×#21755 #21478514

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₃₁×#21755 #21478514