Subgroups — C₃₁×#21757 #21478516

Order 7936.

1318 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃₁×#537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₃₁×#2879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₃₁×#1901	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₃₁×#1900	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₃₁×#1821	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₃₁×#1785	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#41×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#41×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×M₁₆×C₃₁	C₂²	1	4	yes	—
10	C₃₁×#537	—	2	8	no	—
11	C₂×C₃₁×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₃₁×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₃₁×#121	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₃₁×#121	C₄	1	4	yes	—
15	C₂×C₃₁×#121	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₃₁×#101	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₃₁×#100	C₂²	1	4	yes	—
19	C₃₁×#408	—	2	8	no	—
20	C₃₁×#407	C₂²	1	4	yes	—
21	C₃₁×#407	C₂²	1	4	yes	—
22	C₃₁×#343	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#41×C₃₁	—	2	4	no	—
24	C₂×#41×C₃₁	—	4	4	no	—
25	C₂×#41×C₃₁	—	4	4	no	—
26	C₂×#41×C₃₁	D₄	1	8	yes	—
27	C₂²×Q₈×C₃₁	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×Q₈×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×D₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂³×C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×M₁₆×C₃₁	—	2	4	no	—
39	C₂×M₁₆×C₃₁	—	4	8	no	—
40	C₂×M₁₆×C₃₁	C₂³	1	8	yes	—
41	C₂²×C₈×C₃₁	—	2	4	no	—
42	C₃₁×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
43	C₃₁×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
44	C₃₁×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
45	C₃₁×#121	—	2	8	no	—
46	C₃₁×#121	—	2	16	no	—
47	C₃₁×#121	—	2	4	no	—
48	C₃₁×#121	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₃₁×#101	—	4	4	no	—
56	C₃₁×#100	—	4	4	no	—
57	C₃₁×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
58	C₃₁×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
59	C₂⁴×C₃₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
60	C₂⁴×C₃₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
61	C₂⁴×C₃₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	#41×C₃₁	—	4	8	no	—
63	#41×C₃₁	—	4	8	no	—
64	#41×C₃₁	—	4	16	no	—
65	C₂×Q₈×C₃₁	—	2	2	no	—
66	C₂×Q₈×C₃₁	—	2	4	no	—
67	C₂×Q₈×C₃₁	—	4	2	no	—
68	C₂×Q₈×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
69	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
70	C₂×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
71	C₂×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
72	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
73	C₂×D₄×C₃₁	—	4	2	no	—
74	C₂×D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
75	C₂×D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
76	C₂×D₄×C₃₁	—	8	4	no	—
77	C₂×D₄×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
78	C₂×D₄×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
80	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
83	C₂²×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
84	C₂²×C₄×C₃₁	—	8	2	no	—
85	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₄×C₃₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	M₁₆×C₃₁	—	2	8	no	—
94	M₁₆×C₃₁	—	2	8	no	—
95	M₁₆×C₃₁	—	4	8	no	—
96	C₂×C₈×C₃₁	—	2	8	no	—
97	C₂×C₈×C₃₁	—	4	8	no	—
98	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
99	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
100	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
102	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
103	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
104	#21757	C₃₁	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
105	C₂³×C₃₁	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₃₁	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₃₁	—	4	1	no	—
110	C₂³×C₃₁	—	4	1	no	—
111	C₂³×C₃₁	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₃₁	—	4	2	no	—
113	C₂³×C₃₁	—	4	2	no	—
114	C₂³×C₃₁	—	4	2	no	—
115	C₂³×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₃₁	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
118	Q₈×C₃₁	—	4	4	no	—
119	Q₈×C₃₁	—	4	4	no	—
120	D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
121	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
122	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
123	D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
124	D₄×C₃₁	—	8	8	no	—
125	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄×C₃₁	—	8	4	no	—
137	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₃₁	C₂²×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₃₁	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
141	C₈×C₃₁	—	4	8	no	—
142	C₂×#537	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic
143	#2879	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
144	#1901	C₂×C₃₁	1	4	yes	complemented
145	#1900	C₂×C₃₁	1	4	yes	complemented
146	#1821	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
147	#1785	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
148	C₂²×C₃₁	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₃₁	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₃₁	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₃₁	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₃₁	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
157	C₂²×C₃₁	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₃₁	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₃₁	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₃₁	—	8	4	no	—
161	C₂²×C₃₁	—	8	4	no	—
162	C₂²×C₃₁	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₃₁	#518	1	2	yes	—
164	C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
165	C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
166	C₄×C₃₁	—	4	2	no	—
167	C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
168	C₄×C₃₁	#534	1	4	yes	—
169	C₂²×#41	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×#41	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×M₁₆	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
172	#537	—	2	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄×C₃₁	1	2	yes	—
174	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
175	C₂×#121	C₄×C₃₁	1	2	yes	—
176	C₂×#121	C₄×C₃₁	1	4	yes	—
177	C₂×#121	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
179	C₂×#101	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
180	C₂×#100	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
181	#408	—	2	8	no	—
182	#407	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
183	#407	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
184	#343	C₂²×C₃₁	1	8	yes	—
185	C₂×C₃₁	—	2	2	no	—
186	C₂×C₃₁	—	4	2	no	—
187	C₂×C₃₁	—	4	4	no	—
188	C₂×C₃₁	—	8	2	no	—
189	C₂×C₃₁	#2308	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₃₁	#2888	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₃₁	#2889	1	1	yes	characteristic
192	C₂×#41	—	2	4	no	—
193	C₂×#41	—	4	4	no	—
194	C₂×#41	—	4	4	no	—
195	C₂×#41	D₄×C₃₁	1	8	yes	—
196	C₂²×Q₈	C₂×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×Q₈	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
199	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
200	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
201	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×D₄	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
203	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
204	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
205	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
206	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
207	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
208	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
209	C₂×M₁₆	C₂³×C₃₁	1	8	yes	—
210	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
212	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
214	#121	—	2	8	no	—
215	#121	—	2	16	no	—
216	#121	—	2	4	no	—
217	#121	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
220	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
221	C₂×C₄⋊C₄	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
224	#101	—	4	4	no	—
225	#100	—	4	4	no	—
226	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
228	C₃₁	#21757	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
229	C₂⁴	C₂²×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
230	C₂⁴	C₂²×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
231	C₂⁴	C₂²×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
232	#41	—	4	8	no	—
233	#41	—	4	8	no	—
234	#41	—	4	16	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
238	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	8	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	8	yes	—
248	C₂×D₄	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
255	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃₁	1	1	yes	characteristic
263	M₁₆	—	2	8	no	—
264	M₁₆	—	2	8	no	—
265	M₁₆	—	4	8	no	—
266	C₂×C₈	—	2	8	no	—
267	C₂×C₈	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	4	1	no	—
279	C₂³	—	4	1	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂³×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	4	4	no	—
288	Q₈	—	4	4	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	4	8	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	D₄	—	8	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₃₁×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
310	C₈	—	4	8	no	—
311	C₂²	—	2	1	no	—
312	C₂²	—	2	1	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	4	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₃₁×#518	1	2	yes	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	4	2	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	C₃₁×#534	1	4	yes	—
332	C₂	—	2	2	no	—
333	C₂	—	4	2	no	—
334	C₂	—	4	4	no	—
335	C₂	—	8	2	no	—
336	C₂	C₃₁×#2308	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₃₁×#2888	1	1	yes	characteristic
338	C₂	C₃₁×#2889	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²×C₃₁	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄×C₃₁
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃₁
prime radical	C₂×C₃₁×#537	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₃₁ ◁ C₂²×#41×C₃₁ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₃₁×#2879	C₂	semidirect
3. C₃₁×#1901	C₂	semidirect
4. C₃₁×#1900	C₂	semidirect
5. C₃₁×#1821	C₂	semidirect
6. C₃₁×#1785	C₂	semidirect
104. #21757	C₃₁	direct (N × H)
143. #2879	C₂×C₃₁	semidirect
144. #1901	C₂×C₃₁	semidirect
145. #1900	C₂×C₃₁	semidirect
146. #1821	C₂×C₃₁	semidirect
147. #1785	C₂×C₃₁	semidirect
228. C₃₁	#21757	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃₁×#537	2
C₃₁×#2879	2
C₃₁×#1901	2
C₃₁×#1900	2
C₃₁×#1821	2
C₃₁×#1785	2
#21757	31

Subgroups — C31×#21757 #21478516

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₃₁×#21757 #21478516