Subgroups — C₃₁×#21778 #21478537

Order 7936.

1440 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₃₁×#3484	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₃₁×#2888	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₃₁×#1914	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₃₁×#1891	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₃₁×#1829	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₃₁×#1783	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₃₁×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×D₄×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₃₁×#568	C₂²	1	4	yes	complemented
10	C₃₁×#546	—	2	4	no	—
11	D₄²×C₃₁	—	2	4	no	—
12	C₃₁×#535	C₂²	1	2	yes	—
13	C₃₁×#534	C₄	1	4	yes	—
14	C₃₁×#525	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₃₁×#120	C₄	1	4	yes	—
16	C₃₁×#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₃₁×#413	—	2	4	no	—
18	C₃₁×#413	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×C₃₁×#100	—	2	4	no	—
20	C₂×C₃₁×#100	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₃₁×#100	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₃₁×#407	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₃₁×#344	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂⁵×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	C₃₁×H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
26	C₂×#41×C₃₁	D₄	1	4	yes	—
27	C₂×#41×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
28	C₂²×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
29	C₂²×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
31	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂²×D₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×D₄×C₃₁	D₄	1	4	yes	—
34	C₂²×D₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×D₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₃₁×#131	—	4	8	no	—
38	C₂×M₁₆×C₃₁	—	2	8	no	—
39	C₂×M₁₆×C₃₁	C₂³	1	8	yes	—
40	C₃₁×#127	—	2	2	no	—
41	C₃₁×#124	—	2	2	no	—
42	C₃₁×#123	—	2	4	no	—
43	C₃₁×#123	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₃₁×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₃₁×#121	—	2	8	no	—
46	C₃₁×#121	—	2	2	no	—
47	C₃₁×#121	—	2	4	no	—
48	C₃₁×#120	—	2	4	no	—
49	C₃₁×#120	—	2	8	no	—
50	C₃₁×#120	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₃₁×#120	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₄×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
53	C₄×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
54	C₃₁×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₃₁×#101	—	2	4	no	—
58	C₃₁×#100	—	2	4	no	—
59	C₃₁×#100	—	2	8	no	—
60	C₃₁×#100	—	4	4	no	—
61	C₃₁×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
62	C₂⁴×C₃₁	—	2	4	no	—
63	C₂⁴×C₃₁	—	4	4	no	—
64	C₂⁴×C₃₁	—	8	4	no	—
65	C₂⁴×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
66	C₂⁴×C₃₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂⁴×C₃₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂⁴×C₃₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
69	#41×C₃₁	—	2	8	no	—
70	#41×C₃₁	—	4	8	no	—
71	C₂×Q₈×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
73	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
74	C₂×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
75	C₂×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
76	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
77	C₂×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
78	C₂×D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
79	C₂×D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
80	C₂×D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
81	C₂×D₄×C₃₁	—	4	16	no	—
82	C₂×D₄×C₃₁	—	8	8	no	—
83	C₂×D₄×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
84	C₂×D₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×D₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
86	C₂×D₄×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄×C₃₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	M₁₆×C₃₁	—	2	8	no	—
95	M₁₆×C₃₁	—	2	8	no	—
96	M₁₆×C₃₁	—	4	8	no	—
97	C₂×C₈×C₃₁	—	2	8	no	—
98	C₂×C₈×C₃₁	—	4	8	no	—
99	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
100	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
101	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
102	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
103	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
104	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
105	C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₄²×C₃₁	—	2	2	no	—
107	#21778	C₃₁	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
108	C₂³×C₃₁	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₃₁	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₃₁	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
113	C₂³×C₃₁	—	4	2	no	—
114	C₂³×C₃₁	—	4	4	no	—
115	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
116	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
117	C₂³×C₃₁	—	8	8	no	—
118	C₂³×C₃₁	—	8	2	no	—
119	C₂³×C₃₁	—	8	2	no	—
120	C₂³×C₃₁	—	8	4	no	—
121	C₂³×C₃₁	—	8	4	no	—
122	C₂³×C₃₁	—	8	8	no	—
123	C₂³×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂³×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂³×C₃₁	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
126	Q₈×C₃₁	—	2	4	no	—
127	D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
128	D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
129	D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
130	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
131	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
132	D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
133	D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
134	D₄×C₃₁	—	8	8	no	—
135	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄×C₃₁	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄×C₃₁	—	8	4	no	—
142	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄×C₃₁	C₂²×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₃₁	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
145	C₈×C₃₁	—	4	8	no	—
146	#3484	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic
147	#2888	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
148	#1914	C₂×C₃₁	1	4	yes	complemented
149	#1891	C₂×C₃₁	1	4	yes	complemented
150	#1829	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
151	#1783	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
152	C₂²×C₃₁	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₃₁	—	4	1	no	—
157	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
158	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₃₁	—	4	1	no	—
160	C₂²×C₃₁	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₃₁	—	4	1	no	—
163	C₂²×C₃₁	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₃₁	—	8	4	no	—
165	C₂²×C₃₁	—	8	4	no	—
166	C₂²×C₃₁	—	8	16	no	—
167	C₂²×C₃₁	—	16	4	no	—
168	C₂²×C₃₁	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₃₁	#518	1	2	yes	—
170	C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
171	C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
172	C₄×C₃₁	—	4	1	no	—
173	C₄×C₃₁	#534	1	4	yes	—
174	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
175	C₂³×D₄	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
176	#568	C₂²×C₃₁	1	4	yes	complemented
177	#546	—	2	4	no	—
178	D₄²	—	2	4	no	—
179	#535	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
180	#534	C₄×C₃₁	1	4	yes	—
181	#525	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
182	C₂×#120	C₄×C₃₁	1	4	yes	—
183	#518	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
184	#413	—	2	4	no	—
185	#413	C₂²×C₃₁	1	4	yes	complemented
186	C₂×#100	—	2	4	no	—
187	C₂×#100	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
188	C₂×#100	C₂²×C₃₁	1	4	yes	complemented
189	#407	C₂²×C₃₁	1	4	yes	complemented
190	#344	C₂²×C₃₁	1	8	yes	complemented
191	C₂×C₃₁	—	2	1	no	—
192	C₂×C₃₁	—	2	2	no	—
193	C₂×C₃₁	—	4	2	no	—
194	C₂×C₃₁	—	4	4	no	—
195	C₂×C₃₁	—	4	4	no	—
196	C₂×C₃₁	—	8	2	no	—
197	C₂×C₃₁	#2308	1	1	yes	characteristic
198	C₂⁵	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
199	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
200	C₂×#41	D₄×C₃₁	1	4	yes	—
201	C₂×#41	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
202	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
206	C₂²×D₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
207	C₂²×D₄	D₄×C₃₁	1	4	yes	—
208	C₂²×D₄	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×D₄	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
210	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
211	#131	—	4	8	no	—
212	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
213	C₂×M₁₆	C₂³×C₃₁	1	8	yes	—
214	#127	—	2	2	no	—
215	#124	—	2	2	no	—
216	#123	—	2	4	no	—
217	#123	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
218	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
219	#121	—	2	8	no	—
220	#121	—	2	2	no	—
221	#121	—	2	4	no	—
222	#120	—	2	4	no	—
223	#120	—	2	8	no	—
224	#120	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
225	#120	C₂×C₄×C₃₁	1	8	yes	—
226	C₄×D₄	—	2	4	no	—
227	C₄×D₄	—	2	4	no	—
228	#117	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
229	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
231	#101	—	2	4	no	—
232	#100	—	2	4	no	—
233	#100	—	2	8	no	—
234	#100	—	4	4	no	—
235	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
236	C₃₁	#21778	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
237	C₂⁴	—	2	4	no	—
238	C₂⁴	—	4	4	no	—
239	C₂⁴	—	8	4	no	—
240	C₂⁴	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
241	C₂⁴	C₂²×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
242	C₂⁴	C₂²×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
243	C₂⁴	C₂²×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
244	#41	—	2	8	no	—
245	#41	—	4	8	no	—
246	C₂×Q₈	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	8	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	8	no	—
256	C₂×D₄	—	4	16	no	—
257	C₂×D₄	—	8	8	no	—
258	C₂×D₄	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	8	yes	—
259	C₂×D₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
260	C₂×D₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
261	C₂×D₄	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃₁	1	1	yes	characteristic
269	M₁₆	—	2	8	no	—
270	M₁₆	—	2	8	no	—
271	M₁₆	—	4	8	no	—
272	C₂×C₈	—	2	8	no	—
273	C₂×C₈	—	4	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	8	8	no	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	—	8	4	no	—
295	C₂³	—	8	4	no	—
296	C₂³	—	8	8	no	—
297	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
298	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
299	C₂³	C₂³×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	2	4	no	—
301	D₄	—	2	8	no	—
302	D₄	—	2	8	no	—
303	D₄	—	2	4	no	—
304	D₄	—	4	8	no	—
305	D₄	—	4	8	no	—
306	D₄	—	4	8	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	8	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₃₁×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
319	C₈	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	4	1	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	1	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	1	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	8	4	no	—
333	C₂²	—	8	4	no	—
334	C₂²	—	8	16	no	—
335	C₂²	—	16	4	no	—
336	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₃₁×#518	1	2	yes	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	—	4	1	no	—
341	C₄	C₃₁×#534	1	4	yes	—
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	—	2	2	no	—
344	C₂	—	4	2	no	—
345	C₂	—	4	4	no	—
346	C₂	—	4	4	no	—
347	C₂	—	8	2	no	—
348	C₂	C₃₁×#2308	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂×C₃₁	#2308
commutator	C₂³	C₂³×C₄×C₃₁
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴×C₃₁
prime radical	C₃₁×#3484	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₃₁ ◁ C₂²×C₄×C₃₁ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₃₁×#2888	C₂	semidirect
3. C₃₁×#1914	C₂	semidirect
4. C₃₁×#1891	C₂	semidirect
5. C₃₁×#1829	C₂	semidirect
6. C₃₁×#1783	C₂	semidirect
9. C₃₁×#568	C₂²	semidirect
18. C₃₁×#413	C₂²	semidirect
21. C₂×C₃₁×#100	C₂²	semidirect
22. C₃₁×#407	C₂²	semidirect
23. C₃₁×#344	C₂²	semidirect
107. #21778	C₃₁	direct (N × H)
147. #2888	C₂×C₃₁	semidirect
148. #1914	C₂×C₃₁	semidirect
149. #1891	C₂×C₃₁	semidirect
150. #1829	C₂×C₃₁	semidirect
151. #1783	C₂×C₃₁	semidirect
176. #568	C₂²×C₃₁	semidirect
185. #413	C₂²×C₃₁	semidirect
188. C₂×#100	C₂²×C₃₁	semidirect
189. #407	C₂²×C₃₁	semidirect
190. #344	C₂²×C₃₁	semidirect
236. C₃₁	#21778	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₃₁×#3484	2
C₃₁×#2888	2
C₃₁×#1914	2
C₃₁×#1891	2
C₃₁×#1829	2
C₃₁×#1783	2
#21778	31

Subgroups — C31×#21778 #21478537

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₃₁×#21778 #21478537