Subgroups — #21518

Order 256.

455 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 281 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3035	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#444	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1980	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1929	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1765	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#464	C₄	1	2	yes	complemented
19	#463	C₄	1	2	yes	complemented
20	#462	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#461	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
22	#460	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#459	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
24	#444	—	2	8	no	—
25	#436	—	2	1	no	—
26	#436	—	2	1	no	—
27	C₈×D₄	—	2	1	no	—
28	C₈×D₄	—	2	1	no	—
29	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
30	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
35	#416	C₂²	1	2	yes	—
36	#408	C₂²	1	2	yes	—
37	#405	—	2	1	no	—
38	#405	—	2	1	no	—
39	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
42	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#341	C₂²	1	2	yes	—
48	#339	C₂²	1	2	yes	—
49	#336	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#135	—	2	4	no	—
53	#135	—	2	4	no	—
54	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#131	—	2	2	no	—
59	#131	—	2	2	no	—
60	#131	—	2	2	no	—
61	#131	—	2	4	no	—
62	#131	—	2	4	no	—
63	#131	D₄	1	4	yes	complemented
64	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
66	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
72	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#121	—	2	1	no	—
80	#121	—	2	1	no	—
81	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄×D₄	—	2	1	no	—
84	C₄×D₄	—	2	1	no	—
85	C₄×D₄	—	2	1	no	—
86	C₄×D₄	—	2	1	no	—
87	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#117	—	2	1	no	—
90	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#108	—	2	4	no	—
96	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
97	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
98	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#104	—	2	4	no	—
102	#104	—	2	4	no	—
103	#104	—	2	4	no	—
104	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
110	#97	—	2	4	no	—
111	#97	—	2	1	no	—
112	#97	—	2	1	no	—
113	#97	—	2	1	no	—
114	C₄×C₈	—	2	1	no	—
115	C₄×C₈	—	2	1	no	—
116	C₄×C₈	—	2	1	no	—
117	C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
121	#95	—	2	1	no	—
122	#41	—	2	1	no	—
123	#41	—	2	1	no	—
124	#41	—	2	2	no	—
125	#41	—	2	2	no	—
126	#41	—	2	2	no	—
127	#41	—	2	2	no	—
128	#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	#41	#41	1	2	yes	—
130	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×D₄	—	2	1	no	—
133	C₂×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×D₄	—	2	1	no	—
135	C₂×D₄	—	2	1	no	—
136	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	Q₁₆	—	2	4	no	—
147	SD₁₆	—	2	4	no	—
148	SD₁₆	—	2	4	no	—
149	D₈	—	2	4	no	—
150	M₁₆	—	2	4	no	—
151	M₁₆	—	2	1	no	—
152	M₁₆	—	2	1	no	—
153	M₁₆	—	2	4	no	—
154	M₁₆	—	2	2	no	—
155	M₁₆	—	2	2	no	—
156	M₁₆	—	4	4	no	—
157	M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	M₁₆	#41	1	2	yes	—
159	C₂×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₈	—	2	1	no	—
162	C₂×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂×C₈	—	2	4	no	—
167	C₂×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂×C₈	—	4	4	no	—
169	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
177	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
182	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄²	—	2	1	no	—
190	C₄²	—	2	1	no	—
191	C₄²	—	2	1	no	—
192	C₄²	—	2	2	no	—
193	C₄²	—	2	2	no	—
194	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂³	—	2	1	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
201	Q₈	—	2	1	no	—
202	Q₈	—	2	2	no	—
203	Q₈	—	2	2	no	—
204	Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
205	D₄	—	2	2	no	—
206	D₄	—	2	2	no	—
207	D₄	—	2	2	no	—
208	D₄	—	2	1	no	—
209	D₄	—	2	2	no	—
210	D₄	—	4	2	no	—
211	D₄	—	4	2	no	—
212	D₄	—	4	2	no	—
213	D₄	—	4	2	no	—
214	D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
240	C₈	—	2	2	no	—
241	C₈	—	2	2	no	—
242	C₈	—	2	2	no	—
243	C₈	—	2	1	no	—
244	C₈	—	2	2	no	—
245	C₈	—	2	1	no	—
246	C₈	—	4	2	no	—
247	C₈	#121	1	2	yes	—
248	C₈	#121	1	2	yes	—
249	C₂²	—	2	1	no	—
250	C₂²	—	2	1	no	—
251	C₂²	—	2	2	no	—
252	C₂²	—	4	1	no	—
253	C₂²	—	4	1	no	—
254	C₂²	—	4	2	no	—
255	C₂²	—	4	2	no	—
256	C₂²	—	4	2	no	—
257	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	#529	1	1	yes	characteristic
259	C₂²	#532	1	1	yes	characteristic
260	C₄	—	2	1	no	—
261	C₄	—	2	1	no	—
262	C₄	—	2	1	no	—
263	C₄	—	2	2	no	—
264	C₄	—	4	1	no	—
265	C₄	—	4	1	no	—
266	C₄	—	4	2	no	—
267	C₄	—	8	2	no	—
268	C₄	#444	1	2	yes	complemented
269	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
272	C₄	#525	1	1	yes	characteristic
273	C₂	—	2	1	no	—
274	C₂	—	2	1	no	—
275	C₂	—	4	2	no	—
276	C₂	—	8	2	no	—
277	C₂	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
278	C₂	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
279	C₂	#2955	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3035	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#444	C₂	semidirect
3. #2931	C₂	semidirect
4. C₄×#131	C₂	semidirect
5. #1980	C₂	semidirect
6. #1950	C₂	semidirect
7. #1929	C₂	semidirect
8. #1876	C₂	semidirect
9. #1806	C₂	semidirect
10. #1770	C₂	semidirect
11. #1765	C₂	semidirect
18. #464	C₄	semidirect
19. #463	C₄	semidirect
20. #462	C₄	semidirect
21. #461	C₄	semidirect
22. #460	C₄	semidirect
23. #459	C₄	semidirect
63. #131	D₄	semidirect
268. C₄	#444	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3035	2
C₂×#444	2
#2931	2
C₄×#131	2
#1980	2
#1950	2
#1929	2
#1876	2
#1806	2
#1770	2
#1765	2