Subgroups — #215218

Order 512.

1070 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 325 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20808	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9698	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#9697	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8345	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8344	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#431	—	2	2	no	—
10	#2862	C₂²	1	2	yes	—
11	#2861	C₄	1	4	yes	—
12	#2858	C₂²	1	2	yes	—
13	#2850	—	2	2	no	—
14	#2850	—	2	2	no	—
15	C₄×#124	—	2	2	no	—
16	C₄×#124	—	2	2	no	—
17	#2297	C₄	1	2	yes	—
18	#2297	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1842	C₂²	1	4	yes	—
21	#1831	—	2	2	no	—
22	#1797	—	2	2	no	—
23	#1797	C₂²	1	4	yes	—
24	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
25	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#332	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	#533	—	4	4	no	—
31	#532	—	4	4	no	—
32	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×#124	—	2	2	no	—
37	C₂×#124	—	2	2	no	—
38	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
40	C₂×#121	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#431	—	4	8	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
55	#391	—	2	2	no	—
56	#391	—	2	2	no	—
57	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#390	—	2	2	no	—
60	#390	—	2	2	no	—
61	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#388	—	2	4	no	—
64	#388	—	2	4	no	—
65	#388	—	2	4	no	—
66	#388	—	2	4	no	—
67	#386	—	2	4	no	—
68	#386	—	2	2	no	—
69	#386	—	2	2	no	—
70	#382	—	2	2	no	—
71	#382	—	2	2	no	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₄³	D₄	1	2	yes	—
77	C₄³	D₄	1	2	yes	—
78	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	#333	—	4	4	no	—
82	#332	—	4	8	no	—
83	#331	—	4	4	no	—
84	C₂×#41	—	4	4	no	—
85	C₂×#41	—	4	4	no	—
86	C₂×#41	—	4	4	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
101	#127	—	2	4	no	—
102	#125	—	4	4	no	—
103	#124	—	4	4	no	—
104	#124	—	4	8	no	—
105	#124	—	4	4	no	—
106	#124	—	4	4	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
108	#121	—	4	8	no	—
109	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
110	C₄×D₄	—	4	8	no	—
111	#117	—	4	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
147	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
148	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
149	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
150	C₄×C₈	—	4	8	no	—
151	#95	—	2	4	no	—
152	#95	—	2	4	no	—
153	#95	—	2	4	no	—
154	#95	—	2	4	no	—
155	C₂⁴	—	2	2	no	—
156	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	#41	—	8	16	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
163	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
164	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	4	2	no	—
167	C₂×D₄	—	4	2	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	4	no	—
170	C₂×D₄	—	4	4	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	4	no	—
173	C₂×D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₈	—	4	8	no	—
203	C₂×C₈	—	4	8	no	—
204	C₂×C₈	—	4	8	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	—	2	4	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	4	no	—
221	C₄²	—	2	4	no	—
222	C₄²	—	2	4	no	—
223	C₄²	—	2	4	no	—
224	C₄²	—	2	4	no	—
225	C₄²	—	4	1	no	—
226	C₄²	—	4	1	no	—
227	C₄²	—	4	2	no	—
228	C₄²	—	4	2	no	—
229	C₄²	—	4	4	no	—
230	C₄²	#135	1	8	yes	—
231	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
232	C₄²	#137	1	4	yes	—
233	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
234	C₂³	—	2	1	no	—
235	C₂³	—	2	1	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	2	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	—	4	2	no	—
241	C₂³	—	4	4	no	—
242	C₂³	—	4	4	no	—
243	C₂³	#413	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	Q₈	—	8	4	no	—
246	Q₈	—	8	4	no	—
247	Q₈	—	8	4	no	—
248	D₄	—	8	4	no	—
249	D₄	—	8	8	no	—
250	D₄	—	8	4	no	—
251	D₄	—	8	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	16	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	8	8	no	—
280	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
290	C₈	—	8	8	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	4	1	no	—
294	C₂²	—	4	2	no	—
295	C₂²	—	4	1	no	—
296	C₂²	—	8	2	no	—
297	C₂²	—	8	2	no	—
298	C₂²	—	8	4	no	—
299	C₂²	—	8	4	no	—
300	C₂²	—	8	2	no	—
301	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	C₂×#416	1	2	yes	—
305	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
306	C₄	—	2	4	no	—
307	C₄	—	2	2	no	—
308	C₄	—	2	2	no	—
309	C₄	—	2	4	no	—
310	C₄	—	2	4	no	—
311	C₄	—	2	4	no	—
312	C₄	—	4	2	no	—
313	C₄	—	8	2	no	—
314	C₄	—	8	4	no	—
315	C₄	#3207	1	4	yes	—
316	C₄	#3210	1	4	yes	—
317	C₂	—	4	2	no	—
318	C₂	—	16	2	no	—
319	C₂	#17700	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#17719	1	2	yes	—
321	C₂	#17752	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#21798	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#21805	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20808	C₂	semidirect
3. #9698	C₂	semidirect
4. #9697	C₂	semidirect
5. #8345	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36639	2
#20808	2
#9698	2
#9697	2
#8345	2
#8344	2