Subgroups — #21536

Order 256.

533 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 249 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#469	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1944	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1934	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1809	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1762	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#469	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₄×D₈	—	2	4	no	—
20	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
26	#405	—	2	4	no	—
27	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#390	—	2	2	no	—
32	#390	C₂²	1	2	yes	—
33	#389	C₂²	1	2	yes	—
34	#388	—	2	2	no	—
35	#386	—	2	2	no	—
36	#385	—	2	2	no	—
37	#380	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	#340	C₂²	1	2	yes	—
40	#340	C₂²	1	2	yes	—
41	#340	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂×D₈	—	2	2	no	—
48	C₂×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
52	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#121	—	2	4	no	—
60	#121	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₄×D₄	—	2	4	no	—
62	C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	#117	—	2	2	no	—
64	#117	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#107	—	2	2	no	—
82	#106	—	2	2	no	—
83	#106	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
84	#102	—	2	4	no	—
85	#102	—	2	4	no	—
86	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
87	#97	—	2	2	no	—
88	#97	—	2	2	no	—
89	C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	C₄×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
91	#95	—	2	2	no	—
92	#95	—	2	2	no	—
93	#95	—	2	2	no	—
94	C₂⁴	—	2	2	no	—
95	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×D₄	—	2	8	no	—
97	C₂×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂×D₄	—	8	2	no	—
103	C₂×D₄	—	8	2	no	—
104	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
114	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	D₈	—	2	8	no	—
124	M₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×C₈	—	2	8	no	—
126	C₂×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
137	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
138	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
146	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
154	C₄²	—	2	1	no	—
155	C₄²	—	2	1	no	—
156	C₄²	—	8	2	no	—
157	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₄²	#41	1	2	yes	—
159	C₂³	—	2	1	no	—
160	C₂³	—	2	1	no	—
161	C₂³	—	2	2	no	—
162	C₂³	—	2	2	no	—
163	C₂³	—	2	4	no	—
164	C₂³	—	4	2	no	—
165	C₂³	—	4	2	no	—
166	C₂³	—	4	2	no	—
167	C₂³	—	4	2	no	—
168	C₂³	—	4	2	no	—
169	C₂³	—	4	2	no	—
170	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
171	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
172	D₄	—	2	4	no	—
173	D₄	—	2	4	no	—
174	D₄	—	4	2	no	—
175	D₄	—	4	2	no	—
176	D₄	—	8	8	no	—
177	C₂×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄	—	8	8	no	—
199	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
201	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₈	—	2	2	no	—
209	C₈	—	2	2	no	—
210	C₈	—	2	2	no	—
211	C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
212	C₂²	—	2	4	no	—
213	C₂²	—	2	2	no	—
214	C₂²	—	4	2	no	—
215	C₂²	—	4	1	no	—
216	C₂²	—	4	1	no	—
217	C₂²	—	4	4	no	—
218	C₂²	—	4	4	no	—
219	C₂²	—	4	4	no	—
220	C₂²	—	8	2	no	—
221	C₂²	—	8	2	no	—
222	C₂²	—	8	2	no	—
223	C₂²	—	8	2	no	—
224	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
226	C₂²	#532	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	#576	1	2	yes	—
228	C₂²	#577	1	2	yes	—
229	C₄	—	2	2	no	—
230	C₄	—	2	2	no	—
231	C₄	—	2	2	no	—
232	C₄	—	4	4	no	—
233	C₄	—	4	1	no	—
234	C₄	—	4	1	no	—
235	C₄	—	8	2	no	—
236	C₄	—	8	2	no	—
237	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₄	#525	1	1	yes	characteristic
240	C₄	#529	1	1	yes	characteristic
241	C₂	—	4	2	no	—
242	C₂	—	8	4	no	—
243	C₂	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
244	C₂	#2946	1	2	yes	—
245	C₂	#3058	1	1	yes	characteristic
246	C₂	#3060	1	1	yes	characteristic
247	C₂	#3179	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#469	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×D₈	C₂	semidirect
3. C₂×#405	C₂	semidirect
4. #2324	C₂	semidirect
5. #1972	C₂	semidirect
6. #1944	C₂	semidirect
7. #1934	C₂	semidirect
8. #1893	C₂	semidirect
9. #1809	C₂	semidirect
10. C₄×#106	C₂	semidirect
11. #1762	C₂	semidirect
18. #469	C₄	semidirect
51. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
60. #121	C₂×C₄	semidirect
83. #106	C₂×C₄	semidirect
86. #102	C₂×C₄	semidirect
90. C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#469	2
C₂×C₄×D₈	2
C₂×#405	2
#2324	2
#1972	2
#1944	2
#1934	2
#1893	2
#1809	2
C₄×#106	2
#1762	2