Subgroups — #215417

Order 512.

1034 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20777	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#14689	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9714	C₂	1	4	yes	maximal
5	#9679	C₂	1	4	yes	maximal
6	#8333	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
8	#2868	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
9	#2868	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
10	#2862	C₄	1	2	yes	complemented
11	#2859	—	2	1	no	—
12	#2859	—	2	1	no	—
13	#2857	—	2	1	no	—
14	#2857	—	2	1	no	—
15	#2857	C₂²	1	2	yes	—
16	#2857	C₂²	1	2	yes	—
17	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
18	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
19	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
20	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2285	—	2	1	no	—
22	#2285	—	2	1	no	—
23	C₂×#382	—	2	1	no	—
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1839	—	2	1	no	—
26	#1831	—	2	1	no	—
27	#1817	C₂²	1	2	yes	—
28	#1797	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	#1744	—	2	1	no	—
32	C₂×#328	C₂²	1	16	yes	—
33	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
35	#1434	—	2	1	no	—
36	#1434	—	2	1	no	—
37	#1434	C₂²	1	2	yes	—
38	#1434	C₂²	1	2	yes	—
39	#533	—	4	8	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#125	—	2	2	no	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#117	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
63	#391	—	2	2	no	—
64	#391	—	2	2	no	—
65	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#389	—	2	2	no	—
68	#389	—	2	2	no	—
69	#389	—	2	2	no	—
70	#389	—	2	2	no	—
71	#389	—	2	2	no	—
72	#389	—	2	2	no	—
73	#389	—	2	2	no	—
74	#389	—	2	2	no	—
75	#384	—	2	1	no	—
76	#384	—	2	1	no	—
77	#384	—	2	1	no	—
78	#384	—	2	1	no	—
79	#384	—	2	1	no	—
80	#384	—	2	1	no	—
81	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#382	—	2	2	no	—
84	#382	—	2	2	no	—
85	#382	—	4	4	no	—
86	#380	—	2	2	no	—
87	#380	—	2	2	no	—
88	#380	—	2	2	no	—
89	#380	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₂×#95	—	2	2	no	—
95	C₂×#95	—	2	2	no	—
96	C₂×#95	—	2	2	no	—
97	C₂×#95	—	2	2	no	—
98	C₂×#95	—	2	2	no	—
99	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
100	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
108	#336	—	2	2	no	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#336	—	2	2	no	—
111	#336	—	2	2	no	—
112	#328	—	4	16	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
130	#125	—	4	8	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
135	#117	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	Q₁₆	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	4	4	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	#95	—	2	4	no	—
196	#95	—	2	4	no	—
197	#95	—	2	4	no	—
198	#95	—	2	8	no	—
199	#95	—	4	4	no	—
200	#95	—	4	4	no	—
201	#95	—	4	4	no	—
202	#95	—	4	4	no	—
203	#95	—	4	4	no	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	4	1	no	—
294	C₄²	—	4	1	no	—
295	C₄²	—	4	1	no	—
296	C₄²	—	4	1	no	—
297	C₄²	—	4	1	no	—
298	C₄²	—	4	1	no	—
299	C₄²	—	4	1	no	—
300	C₄²	—	4	1	no	—
301	C₄²	—	4	8	no	—
302	C₄²	#103	1	4	yes	—
303	C₄²	#103	1	4	yes	—
304	C₄²	#103	1	4	yes	—
305	C₄²	#103	1	4	yes	—
306	C₂³	—	2	1	no	—
307	C₂³	—	2	1	no	—
308	C₂³	—	2	1	no	—
309	C₂³	—	2	1	no	—
310	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	#535	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
315	Q₈	—	8	8	no	—
316	Q₈	—	8	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	1	no	—
345	C₂×C₄	—	2	1	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	8	4	no	—
362	C₂×C₄	—	8	4	no	—
363	C₂×C₄	—	8	4	no	—
364	C₂×C₄	—	8	4	no	—
365	C₂×C₄	—	8	4	no	—
366	C₂×C₄	—	8	4	no	—
367	C₂×C₄	—	8	4	no	—
368	C₂×C₄	#410	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#410	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#103	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#419	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#419	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#421	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#421	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
382	C₈	—	8	4	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	1	no	—
387	C₂²	—	2	1	no	—
388	C₂²	—	2	1	no	—
389	C₂²	—	2	1	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂×#410	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	C₂×#410	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	C₂×#421	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	C₂×#421	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#3206	1	2	yes	—
399	C₂²	#3209	1	2	yes	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	2	2	no	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	2	2	no	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	2	no	—
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	4	1	no	—
412	C₄	—	4	1	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	—	8	4	no	—
415	C₄	—	16	4	no	—
416	C₄	#1518	1	4	yes	—
417	C₂	—	2	2	no	—
418	C₂	—	2	2	no	—
419	C₂	#17562	1	1	yes	characteristic
420	C₂	C₂×#1518	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#17575	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#17596	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#21794	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#21804	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#21816	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
8. #2868	C₄	semidirect
9. #2868	C₄	semidirect
10. #2862	C₄	semidirect
19. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
20. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36645	2
#20777	2
#14689	2
#9714	2
#9679	2
#8333	2