Subgroups — #21548

Order 256.

457 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 225 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3054	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2929	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1946	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1938	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1764	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#525	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#470	C₄	1	2	yes	complemented
19	#469	C₄	1	2	yes	complemented
20	#468	C₄	1	4	yes	complemented
21	#443	—	2	4	no	—
22	#435	—	2	4	no	—
23	C₈×D₄	—	2	4	no	—
24	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#424	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
30	#416	C₂²	1	2	yes	—
31	#408	C₂²	1	2	yes	—
32	#407	C₂²	1	2	yes	—
33	#405	—	2	4	no	—
34	#405	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#341	C₂²	1	2	yes	—
40	#339	C₂²	1	2	yes	—
41	#339	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#135	—	2	2	no	—
45	#135	—	2	2	no	—
46	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	#131	—	2	4	no	—
50	#131	—	2	4	no	—
51	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₈	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#123	—	2	2	no	—
68	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#120	—	2	2	no	—
71	C₄×D₄	—	2	4	no	—
72	#117	—	2	2	no	—
73	#117	—	2	2	no	—
74	#117	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#108	—	2	2	no	—
80	#108	—	2	2	no	—
81	#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
84	#104	—	2	4	no	—
85	#104	—	2	4	no	—
86	#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
89	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
90	#97	—	2	2	no	—
91	#97	—	2	2	no	—
92	#97	—	2	2	no	—
93	C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	C₄×C₈	—	2	2	no	—
95	C₄×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
96	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
97	#41	—	2	2	no	—
98	#41	—	2	2	no	—
99	#41	—	2	2	no	—
100	#41	—	2	2	no	—
101	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	Q₁₆	—	2	2	no	—
117	SD₁₆	—	2	4	no	—
118	D₈	—	2	2	no	—
119	M₁₆	—	2	4	no	—
120	M₁₆	—	2	4	no	—
121	M₁₆	—	2	2	no	—
122	M₁₆	—	2	2	no	—
123	M₁₆	—	2	2	no	—
124	M₁₆	—	2	2	no	—
125	M₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂×C₈	—	4	4	no	—
135	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
144	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
145	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₄²	—	2	1	no	—
153	C₄²	—	2	2	no	—
154	C₄²	—	2	1	no	—
155	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₄²	#41	1	2	yes	—
157	C₂³	—	2	1	no	—
158	C₂³	—	2	1	no	—
159	C₂³	—	2	2	no	—
160	C₂³	—	4	2	no	—
161	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
162	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
163	Q₈	—	2	2	no	—
164	Q₈	—	2	2	no	—
165	D₄	—	2	2	no	—
166	D₄	—	2	2	no	—
167	D₄	—	4	8	no	—
168	D₄	—	4	2	no	—
169	D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
191	C₈	—	2	2	no	—
192	C₈	—	2	2	no	—
193	C₈	—	4	2	no	—
194	C₈	—	4	2	no	—
195	C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
196	C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
197	C₈	#121	1	2	yes	—
198	C₈	#121	1	2	yes	—
199	C₂²	—	2	2	no	—
200	C₂²	—	2	4	no	—
201	C₂²	—	2	2	no	—
202	C₂²	—	4	2	no	—
203	C₂²	—	4	2	no	—
204	C₂²	—	4	4	no	—
205	C₂²	—	4	2	no	—
206	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²	#525	1	1	yes	characteristic
208	C₂²	#529	1	1	yes	characteristic
209	C₄	—	2	2	no	—
210	C₄	—	4	2	no	—
211	C₄	—	4	2	no	—
212	C₄	—	4	4	no	—
213	C₄	—	4	2	no	—
214	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
216	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
217	C₄	#532	1	1	yes	characteristic
218	C₂	—	2	1	no	—
219	C₂	—	2	1	no	—
220	C₂	—	4	2	no	—
221	C₂	—	8	2	no	—
222	C₂	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
223	C₂	#2955	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3054	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#443	C₂	semidirect
3. #2929	C₂	semidirect
4. C₂×#405	C₂	semidirect
5. #1975	C₂	semidirect
6. #1946	C₂	semidirect
7. #1938	C₂	semidirect
8. #1897	C₂	semidirect
9. #1811	C₂	semidirect
10. #1772	C₂	semidirect
11. #1764	C₂	semidirect
18. #470	C₄	semidirect
19. #469	C₄	semidirect
20. #468	C₄	semidirect
95. C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3054	2
C₂×#443	2
#2929	2
C₂×#405	2
#1975	2
#1946	2
#1938	2
#1897	2
#1811	2
#1772	2
#1764	2