Subgroups — #21555

Order 256.

469 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 245 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#472	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1978	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1951	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1931	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1907	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1815	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1778	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	#472	C₄	1	8	yes	complemented
19	#442	—	2	2	no	—
20	#442	—	2	1	no	—
21	#442	—	2	1	no	—
22	#442	—	2	1	no	—
23	#442	—	2	1	no	—
24	#440	—	2	2	no	—
25	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
26	C₄×D₈	—	2	2	no	—
27	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#428	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#418	C₂²	1	2	yes	—
32	#417	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	—
36	#405	—	2	1	no	—
37	#405	—	2	1	no	—
38	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
41	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#97	—	2	1	no	—
44	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#343	C₂²	1	2	yes	—
46	#343	C₂²	1	2	yes	—
47	#341	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
51	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
52	AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×D₈	—	2	2	no	—
55	C₂×D₈	—	2	1	no	—
56	C₂×D₈	—	2	1	no	—
57	C₂×D₈	—	2	2	no	—
58	C₂×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	#131	—	2	2	no	—
60	#131	—	2	2	no	—
61	#131	—	2	2	no	—
62	#131	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
63	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
65	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₄×D₄	—	2	2	no	—
75	C₄×D₄	—	2	2	no	—
76	C₄×D₄	—	2	2	no	—
77	C₄×D₄	—	2	2	no	—
78	C₄×D₄	—	2	2	no	—
79	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
80	#117	—	2	1	no	—
81	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#108	—	2	2	no	—
87	#108	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
88	#107	—	2	2	no	—
89	#106	—	2	1	no	—
90	#106	—	2	1	no	—
91	#106	—	2	2	no	—
92	#103	—	2	2	no	—
93	#102	—	2	2	no	—
94	#102	—	2	2	no	—
95	#102	—	2	2	no	—
96	#102	—	2	2	no	—
97	#102	—	2	2	no	—
98	#100	—	2	4	no	—
99	#100	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
100	#97	—	2	1	no	—
101	#97	—	2	1	no	—
102	#97	—	2	1	no	—
103	#97	—	2	2	no	—
104	#97	D₄	1	1	yes	characteristic
105	#97	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#97	D₄	1	1	yes	characteristic
107	#97	D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄×C₈	—	2	1	no	—
109	C₄×C₈	—	2	1	no	—
110	C₄×C₈	—	2	1	no	—
111	C₄×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂⁴	—	2	2	no	—
113	#41	—	2	1	no	—
114	#41	—	2	1	no	—
115	#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	#41	#41	1	2	yes	—
117	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×D₄	—	2	1	no	—
119	C₂×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
132	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	SD₁₆	—	2	8	no	—
135	D₈	—	2	8	no	—
136	D₈	—	2	4	no	—
137	D₈	—	2	4	no	—
138	M₁₆	—	2	4	no	—
139	M₁₆	—	2	1	no	—
140	M₁₆	—	2	1	no	—
141	M₁₆	—	2	2	no	—
142	M₁₆	—	2	4	no	—
143	M₁₆	—	2	2	no	—
144	M₁₆	—	2	2	no	—
145	M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	M₁₆	#41	1	2	yes	—
148	C₂×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
162	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₄²	—	2	2	no	—
171	C₄²	—	2	1	no	—
172	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂³	—	2	1	no	—
176	C₂³	—	2	4	no	—
177	C₂³	—	4	2	no	—
178	C₂³	—	4	2	no	—
179	C₂³	—	8	2	no	—
180	C₂³	—	8	2	no	—
181	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
182	Q₈	—	2	1	no	—
183	Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
184	D₄	—	2	2	no	—
185	D₄	—	2	2	no	—
186	D₄	—	2	4	no	—
187	D₄	—	2	4	no	—
188	D₄	—	2	1	no	—
189	D₄	—	4	2	no	—
190	D₄	—	4	2	no	—
191	D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₄	—	8	2	no	—
199	C₂×C₄	—	8	4	no	—
200	C₂×C₄	—	8	4	no	—
201	C₂×C₄	—	8	2	no	—
202	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₈	—	2	2	no	—
211	C₈	—	2	4	no	—
212	C₈	—	2	1	no	—
213	C₈	—	2	2	no	—
214	C₈	—	2	1	no	—
215	C₈	—	4	2	no	—
216	C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²	—	2	2	no	—
219	C₂²	—	2	2	no	—
220	C₂²	—	4	2	no	—
221	C₂²	—	4	4	no	—
222	C₂²	—	8	4	no	—
223	C₂²	—	8	4	no	—
224	C₂²	—	8	2	no	—
225	C₂²	—	8	2	no	—
226	C₂²	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	#529	1	1	yes	characteristic
229	C₄	—	2	2	no	—
230	C₄	—	2	2	no	—
231	C₄	—	2	2	no	—
232	C₄	—	4	2	no	—
233	C₄	—	8	2	no	—
234	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₄	#525	1	1	yes	characteristic
237	C₄	#532	1	1	yes	characteristic
238	C₂	—	2	1	no	—
239	C₂	—	2	1	no	—
240	C₂	—	4	2	no	—
241	C₂	—	8	4	no	—
242	C₂	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#3068	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#121
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#472	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
3. C₂×#442	C₂	semidirect
4. #2875	C₂	semidirect
5. #1978	C₂	semidirect
6. #1951	C₂	semidirect
7. #1931	C₂	semidirect
8. #1907	C₂	semidirect
9. #1815	C₂	semidirect
10. #1778	C₂	semidirect
11. C₄×#100	C₂	semidirect
18. #472	C₄	semidirect
52. AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	semidirect
58. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
62. #131	C₂×C₄	semidirect
87. #108	C₂×C₄	semidirect
99. #100	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#472	2
C₄×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#442	2
#2875	2
#1978	2
#1951	2
#1931	2
#1907	2
#1815	2
#1778	2
C₄×#100	2