Subgroups — #21703

Order 256.

531 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 307 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#441	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#440	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×C₄×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#2327	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2326	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#1973	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#1971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1969	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1968	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#1958	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#1956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#1847	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#1726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#497	C₄	1	8	yes	complemented
27	#441	—	2	4	no	—
28	#440	—	2	4	no	—
29	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
30	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
31	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	#388	—	2	2	no	—
54	#387	—	2	2	no	—
55	#387	—	2	2	no	—
56	#385	—	2	2	no	—
57	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
65	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
66	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
69	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
72	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
73	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
74	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
75	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
82	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
83	#124	—	2	2	no	—
84	#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
87	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
89	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₄×D₄	—	2	2	no	—
92	C₄×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#107	—	2	2	no	—
112	#107	—	2	2	no	—
113	#106	—	2	2	no	—
114	#106	—	2	2	no	—
115	#103	—	2	2	no	—
116	#103	—	2	2	no	—
117	#103	—	2	2	no	—
118	#103	—	2	2	no	—
119	#103	—	2	2	no	—
120	#103	—	2	2	no	—
121	#102	—	2	2	no	—
122	#102	—	2	2	no	—
123	#97	—	2	2	no	—
124	#97	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
125	#97	D₄	1	4	yes	—
126	C₄×C₈	—	2	2	no	—
127	C₄×C₈	—	2	2	no	—
128	C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
129	#95	—	2	2	no	—
130	#95	—	2	2	no	—
131	#95	—	2	2	no	—
132	#95	—	2	2	no	—
133	#95	D₄	1	2	yes	—
134	#95	D₄	1	2	yes	—
135	C₂⁴	—	2	1	no	—
136	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×D₄	—	2	1	no	—
155	C₂×D₄	—	2	1	no	—
156	C₂×D₄	—	2	1	no	—
157	C₂×D₄	—	2	1	no	—
158	C₂×D₄	—	2	1	no	—
159	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	Q₁₆	—	2	8	no	—
175	Q₁₆	—	2	8	no	—
176	SD₁₆	—	2	8	no	—
177	SD₁₆	—	2	8	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	2	1	no	—
180	C₂×C₈	—	2	1	no	—
181	C₂×C₈	—	2	1	no	—
182	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
189	C₂×C₈	#41	1	2	yes	—
190	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
206	C₄²	—	2	1	no	—
207	C₄²	—	2	1	no	—
208	C₄²	—	4	2	no	—
209	C₄²	—	4	2	no	—
210	C₄²	—	4	2	no	—
211	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
212	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₄²	#41	1	2	yes	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	4	1	no	—
217	C₂³	—	4	1	no	—
218	C₂³	—	4	2	no	—
219	C₂³	—	4	2	no	—
220	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	Q₈	—	2	2	no	—
222	Q₈	—	2	2	no	—
223	Q₈	—	2	2	no	—
224	Q₈	—	2	2	no	—
225	Q₈	—	2	2	no	—
226	Q₈	—	2	2	no	—
227	Q₈	—	4	1	no	—
228	Q₈	—	4	1	no	—
229	Q₈	—	4	1	no	—
230	Q₈	—	4	1	no	—
231	Q₈	—	4	1	no	—
232	Q₈	—	4	1	no	—
233	D₄	—	2	2	no	—
234	D₄	—	2	2	no	—
235	D₄	—	4	1	no	—
236	D₄	—	4	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	1	no	—
248	C₂×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₈	—	2	2	no	—
272	C₈	—	2	2	no	—
273	C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
274	C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	8	1	no	—
278	C₂²	—	8	1	no	—
279	C₂²	—	8	2	no	—
280	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#532	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#577	1	2	yes	—
284	C₂²	#578	1	2	yes	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	2	no	—
287	C₄	—	2	4	no	—
288	C₄	—	4	2	no	—
289	C₄	—	4	2	no	—
290	C₄	—	4	2	no	—
291	C₄	—	4	2	no	—
292	C₄	—	8	1	no	—
293	C₄	—	8	1	no	—
294	C₄	—	8	1	no	—
295	C₄	—	8	1	no	—
296	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄	#532	1	1	yes	characteristic
299	C₄	#532	1	1	yes	characteristic
300	C₂	—	8	2	no	—
301	C₂	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#2947	1	2	yes	—
303	C₂	#3154	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#3156	1	1	yes	characteristic
305	C₂	#3178	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#441	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×Q₁₆	C₂	semidirect
6. #2327	C₂	semidirect
9. #1971	C₂	semidirect
10. #1969	C₂	semidirect
13. #1956	C₂	semidirect
14. #1847	C₂	semidirect
15. #1726	C₂	semidirect
26. #497	C₄	semidirect
69. C₂×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
70. C₂×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
82. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
124. #97	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#497	2
C₂×#441	2
C₂×#440	2
C₂×C₄×Q₁₆	2
C₂×C₄×SD₁₆	2
#2327	2
#2326	2
#1973	2
#1971	2
#1969	2
#1968	2
#1958	2
#1956	2
#1847	2
#1726	2