Subgroups — #217265

Order 512.

990 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20714	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#8831	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#8596	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8595	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#431	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#1817	—	2	2	no	—
13	#1797	C₂²	1	4	yes	—
14	#1797	C₂²	1	4	yes	—
15	#1779	—	2	2	no	—
16	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
17	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
18	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	4	yes	—
19	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#336	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#336	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#335	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#1277	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#1277	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂⁴×C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
34	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
35	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	Q₈	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
43	#431	—	4	4	no	—
44	#431	—	4	4	no	—
45	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
47	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₈	C₈	1	8	yes	complemented
51	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
56	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#336	—	2	4	no	—
61	#336	—	2	4	no	—
62	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#335	—	4	4	no	—
65	#334	—	4	4	no	—
66	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
68	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
69	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
70	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
71	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
72	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
73	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
74	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
75	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
76	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
77	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
84	C₂³×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
94	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
95	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
96	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
98	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
99	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
100	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
101	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
102	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
114	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
115	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
116	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
117	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
131	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
134	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
135	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
136	C₂²⋊C₈	C₂×C₈	1	16	yes	—
137	C₄×C₈	—	2	4	no	—
138	C₄×C₈	—	2	4	no	—
139	C₄×C₈	—	4	2	no	—
140	C₄×C₈	—	4	2	no	—
141	C₄×C₈	—	4	8	no	—
142	C₂⁴	—	2	2	no	—
143	C₂⁴	—	2	2	no	—
144	C₂⁴	—	4	1	no	—
145	C₂⁴	—	4	1	no	—
146	C₂⁴	—	4	1	no	—
147	C₂⁴	—	4	1	no	—
148	C₂⁴	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
149	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
191	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	#108	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	4	no	—
219	C₂×C₈	—	4	4	no	—
220	C₂×C₈	—	4	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	4	no	—
222	C₂×C₈	—	4	8	no	—
223	C₂×C₈	—	4	8	no	—
224	C₂×C₈	—	4	8	no	—
225	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
226	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
227	C₄²	—	2	1	no	—
228	C₄²	—	2	1	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	4	2	no	—
236	C₄²	—	4	2	no	—
237	C₄²	—	4	2	no	—
238	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
239	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	C₂³	—	2	1	no	—
241	C₂³	—	2	1	no	—
242	C₂³	—	2	1	no	—
243	C₂³	—	2	1	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	8	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	4	no	—
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
258	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
259	C₂³	#427	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂×#108	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#427	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	#430	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
310	C₈	—	2	4	no	—
311	C₈	—	2	4	no	—
312	C₈	—	4	2	no	—
313	C₈	—	4	2	no	—
314	C₈	—	8	8	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	4	16	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	—	4	2	no	—
327	C₂²	—	4	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	#1564	1	4	yes	—
330	C₂²	#2315	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#2911	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	#2972	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#2972	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#2973	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#2973	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#3191	1	4	yes	—
349	C₂	—	2	4	no	—
350	C₂	—	4	4	no	—
351	C₂	C₂×#1564	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#17787	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#17815	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#17819	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#21930	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#21939	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#21948	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #8831	C₂	semidirect
4. #8596	C₂	semidirect
5. #8595	C₂	semidirect
22. C₂×#335	C₂²	semidirect
23. C₂×#334	C₂²	semidirect
24. #1277	C₂²	semidirect
25. #1277	C₂²	semidirect
50. C₂×C₂²⋊C₈	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20714	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
#8831	2
#8596	2
#8595	2