Subgroups — #217288

Order 512.

976 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20626	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#8833	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#8832	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8597	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#407	—	2	2	no	—
10	C₂×#407	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	#1797	—	2	2	no	—
13	#1797	—	2	2	no	—
14	#1797	C₂²	1	4	yes	—
15	#1797	C₂²	1	4	yes	—
16	#1749	C₄	1	4	yes	—
17	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
18	#1728	—	2	2	no	—
19	#1728	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1728	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#335	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#1277	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂⁴×C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
29	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
32	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
33	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	Q₈	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
41	#423	—	4	4	no	—
42	#423	—	4	4	no	—
43	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
47	#407	—	2	8	no	—
48	#407	—	4	8	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
53	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
54	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	#336	—	2	4	no	—
57	#336	—	2	4	no	—
58	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#335	—	4	4	no	—
61	#334	—	4	4	no	—
62	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
64	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
66	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
67	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
68	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
69	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
70	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
71	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
72	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
73	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
85	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
86	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
87	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
88	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
89	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
90	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
91	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
93	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
94	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
95	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
96	C₂×M₁₆	M₁₆	1	8	yes	complemented
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
106	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
107	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
108	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
109	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
110	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
111	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
112	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
113	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
124	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
125	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
126	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
127	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
128	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
129	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
130	#97	—	4	4	no	—
131	C₄×C₈	—	2	4	no	—
132	C₄×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂⁴	—	2	2	no	—
134	C₂⁴	—	2	4	no	—
135	C₂⁴	—	4	1	no	—
136	C₂⁴	—	4	1	no	—
137	C₂⁴	—	4	2	no	—
138	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
194	M₁₆	—	4	8	no	—
195	M₁₆	—	4	8	no	—
196	M₁₆	—	8	8	no	—
197	M₁₆	—	8	8	no	—
198	C₂×C₈	—	2	4	no	—
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	2	4	no	—
202	C₂×C₈	—	2	4	no	—
203	C₂×C₈	—	4	4	no	—
204	C₂×C₈	—	4	4	no	—
205	C₂×C₈	—	4	4	no	—
206	C₂×C₈	—	4	4	no	—
207	C₂×C₈	—	4	4	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
210	C₄²	—	2	2	no	—
211	C₄²	—	2	4	no	—
212	C₄²	—	2	2	no	—
213	C₄²	—	2	2	no	—
214	C₄²	—	2	1	no	—
215	C₄²	—	2	1	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	—	4	2	no	—
219	C₄²	—	4	2	no	—
220	C₄²	—	4	2	no	—
221	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
222	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
223	C₂³	—	2	1	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	1	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	2	no	—
233	C₂³	—	4	4	no	—
234	C₂³	—	4	8	no	—
235	C₂³	—	4	4	no	—
236	C₂³	—	4	8	no	—
237	C₂³	—	4	4	no	—
238	C₂³	#423	1	2	yes	—
239	C₂³	#428	1	4	yes	—
240	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	1	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	#428	1	4	yes	—
276	C₂×C₄	#430	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
286	C₈	—	2	8	no	—
287	C₈	—	4	4	no	—
288	C₈	—	8	4	no	—
289	C₈	—	8	4	no	—
290	C₂²	—	2	4	no	—
291	C₂²	—	2	4	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	2	2	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	4	16	no	—
296	C₂²	—	4	2	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	4	2	no	—
300	C₂²	—	4	1	no	—
301	C₂²	—	4	1	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	#2315	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂×#428	1	2	yes	—
307	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
308	C₄	—	2	2	no	—
309	C₄	—	2	4	no	—
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	2	4	no	—
312	C₄	—	4	2	no	—
313	C₄	—	4	1	no	—
314	C₄	—	4	1	no	—
315	C₄	#2973	1	2	yes	—
316	C₄	#2975	1	2	yes	—
317	C₄	#3192	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#3193	1	2	yes	—
319	C₄	#3195	1	1	yes	characteristic
320	C₂	—	4	2	no	—
321	C₂	—	4	4	no	—
322	C₂	#17796	1	2	yes	—
323	C₂	#17820	1	2	yes	—
324	C₂	#21934	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#21942	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#21949	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #8833	C₂	semidirect
4. #8832	C₂	semidirect
5. #8597	C₂	semidirect
21. C₂×#335	C₂²	semidirect
22. C₂×#334	C₂²	semidirect
23. #1277	C₂²	semidirect
96. C₂×M₁₆	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20626	2
C₄×#407	2
#8833	2
#8832	2
#8597	2