Subgroups — #217295

Order 512.

920 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20714	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20626	C₂	1	2	yes	maximal
3	#8833	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#8832	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8600	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#407	—	2	2	no	—
11	#1817	C₄	1	2	yes	—
12	#1797	—	2	2	no	—
13	#1797	—	2	2	no	—
14	#1797	C₄	1	4	yes	—
15	#1797	C₂²	1	4	yes	—
16	#1797	C₂²	1	4	yes	—
17	#1779	C₄	1	2	yes	—
18	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
19	#1728	—	2	2	no	—
20	C₂×#335	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#1277	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂⁴×C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
28	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
29	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
30	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	Q₈	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
38	#431	—	4	2	no	—
39	#431	—	4	2	no	—
40	#423	—	4	4	no	—
41	#423	—	4	4	no	—
42	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
47	#407	—	4	8	no	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
53	#336	—	2	4	no	—
54	#336	—	2	4	no	—
55	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	#335	—	4	4	no	—
57	#334	—	4	4	no	—
58	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
61	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
62	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
63	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
64	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
65	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
66	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
67	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
68	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
71	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
72	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
80	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
81	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
82	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
83	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
84	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
85	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
89	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
94	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
95	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
96	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
97	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
98	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
101	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
112	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
113	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
114	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
115	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
116	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
117	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
118	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
119	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
120	C₄×C₈	—	2	4	no	—
121	C₄×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂⁴	—	2	4	no	—
123	C₂⁴	—	2	2	no	—
124	C₂⁴	—	4	1	no	—
125	C₂⁴	—	4	2	no	—
126	C₂⁴	—	4	1	no	—
127	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
168	C₂²×C₄	#108	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
180	M₁₆	—	8	8	no	—
181	M₁₆	—	8	8	no	—
182	C₂×C₈	—	2	8	no	—
183	C₂×C₈	—	2	16	no	—
184	C₂×C₈	—	4	4	no	—
185	C₂×C₈	—	4	4	no	—
186	C₂×C₈	—	4	4	no	—
187	C₂×C₈	—	4	4	no	—
188	C₂×C₈	—	4	4	no	—
189	C₂×C₈	—	4	4	no	—
190	C₄²	—	2	2	no	—
191	C₄²	—	2	4	no	—
192	C₄²	—	2	2	no	—
193	C₄²	—	2	2	no	—
194	C₄²	—	2	1	no	—
195	C₄²	—	2	1	no	—
196	C₄²	—	2	4	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	4	2	no	—
199	C₄²	—	4	2	no	—
200	C₄²	—	4	2	no	—
201	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
202	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	1	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	2	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	1	no	—
213	C₂³	—	4	4	no	—
214	C₂³	—	4	8	no	—
215	C₂³	—	4	4	no	—
216	C₂³	—	4	8	no	—
217	C₂³	—	4	4	no	—
218	C₂³	#428	1	4	yes	—
219	C₂³	C₂×#108	1	2	yes	—
220	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂×C₄	#428	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	#430	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	#568	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
263	C₈	—	4	8	no	—
264	C₈	—	8	4	no	—
265	C₈	—	8	4	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	4	no	—
269	C₂²	—	2	4	no	—
270	C₂²	—	2	2	no	—
271	C₂²	—	4	16	no	—
272	C₂²	—	4	2	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	—	4	1	no	—
277	C₂²	—	4	1	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	#2315	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	#2905	1	2	yes	—
281	C₂²	C₂×#428	1	2	yes	—
282	C₂²	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
284	C₄	—	2	4	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	2	no	—
287	C₄	—	2	4	no	—
288	C₄	—	4	2	no	—
289	C₄	—	4	1	no	—
290	C₄	—	4	1	no	—
291	C₄	#2978	1	4	yes	—
292	C₄	#3192	1	1	yes	characteristic
293	C₄	#3193	1	2	yes	—
294	C₄	#3195	1	1	yes	characteristic
295	C₂	—	4	4	no	—
296	C₂	—	4	2	no	—
297	C₂	#17817	1	2	yes	—
298	C₂	#17820	1	2	yes	—
299	C₂	#21935	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#21942	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#21948	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #8833	C₂	semidirect
4. #8832	C₂	semidirect
5. #8600	C₂	semidirect
20. C₂×#335	C₂²	semidirect
21. C₂×#334	C₂²	semidirect
22. #1277	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20714	2
#20626	2
#8833	2
#8832	2
#8600	2