Subgroups — #217299

Order 512.

768 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21853	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#8834	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#8833	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8597	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8595	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#408	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#408	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#1985	—	2	2	no	—
15	#1955	—	2	2	no	—
16	#1870	—	2	2	no	—
17	#1870	—	2	2	no	—
18	#1797	C₂²	1	4	yes	—
19	#1797	C₂²	1	4	yes	—
20	#1750	C₄	1	4	yes	—
21	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
22	#1729	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#1729	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
28	#1277	C₂²	1	4	yes	—
29	#1277	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#41	—	4	1	no	—
37	C₄×#41	—	4	1	no	—
38	C₄×#41	—	4	1	no	—
39	C₄×#41	—	4	1	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
50	#432	—	4	2	no	—
51	#432	—	4	2	no	—
52	#423	—	4	2	no	—
53	#423	—	4	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
57	#408	—	2	4	no	—
58	#408	—	2	4	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
65	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
66	C₂×#97	—	2	2	no	—
67	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	#336	—	2	4	no	—
74	#336	—	2	4	no	—
75	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#335	—	4	2	no	—
78	#334	—	4	2	no	—
79	#334	—	4	2	no	—
80	#334	—	4	2	no	—
81	C₂×#41	—	2	2	no	—
82	C₂×#41	—	2	2	no	—
83	C₂×#41	—	4	1	no	—
84	C₂×#41	—	4	1	no	—
85	C₂×#41	—	4	1	no	—
86	C₂×#41	—	4	1	no	—
87	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
98	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
99	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
100	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
101	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
103	C₂×M₁₆	M₁₆	1	4	yes	complemented
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
111	C₂²×C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
117	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
118	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
119	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
120	C₄×D₄	—	4	2	no	—
121	C₄×D₄	—	4	2	no	—
122	C₄×D₄	—	4	1	no	—
123	C₄×D₄	—	4	1	no	—
124	C₄×D₄	—	4	2	no	—
125	C₄×D₄	—	4	2	no	—
126	C₄×D₄	—	4	1	no	—
127	C₄×D₄	—	4	1	no	—
128	#117	—	4	2	no	—
129	#117	—	4	2	no	—
130	#117	—	4	1	no	—
131	#117	—	4	1	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
164	#97	—	4	2	no	—
165	#97	—	4	4	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	4	2	no	—
171	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	#41	—	4	4	no	—
174	#41	—	4	4	no	—
175	#41	—	4	4	no	—
176	#41	—	4	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	1	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	1	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
220	M₁₆	—	4	4	no	—
221	M₁₆	—	4	4	no	—
222	M₁₆	—	8	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
242	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	2	1	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	1	no	—
257	C₄²	—	2	1	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	#423	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	4	4	no	—
278	D₄	—	4	4	no	—
279	D₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	#423	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
323	C₈	—	2	4	no	—
324	C₈	—	2	4	no	—
325	C₈	—	4	2	no	—
326	C₈	—	4	2	no	—
327	C₈	—	8	4	no	—
328	C₈	—	8	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	1	no	—
333	C₂²	—	4	1	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	#2315	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#2912	1	2	yes	—
343	C₂²	#2916	1	2	yes	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	1	no	—
346	C₄	—	2	1	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	1	no	—
350	C₄	—	4	1	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	#2973	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2973	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2975	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2975	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#3200	1	2	yes	—
357	C₄	#3204	1	2	yes	—
358	C₂	—	4	2	no	—
359	C₂	—	8	2	no	—
360	C₂	#17798	1	2	yes	—
361	C₂	#17824	1	2	yes	—
362	C₂	#21934	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#21946	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#21950	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #8834	C₂	semidirect
4. #8833	C₂	semidirect
5. #8597	C₂	semidirect
6. #8595	C₂	semidirect
103. C₂×M₁₆	M₁₆	semidirect
111. C₂²×C₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21853	2
C₄×#408	2
#8834	2
#8833	2
#8597	2
#8595	2