Subgroups — #217321

Order 512.

729 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21849	C₂	1	2	yes	maximal
2	#21374	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#8832	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#8831	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8597	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#1985	C₄	1	1	yes	characteristic
13	#1985	C₄	1	1	yes	characteristic
14	#1984	—	2	2	no	—
15	#1955	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#1955	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#1954	—	2	2	no	—
18	#1870	—	2	2	no	—
19	#1870	—	2	2	no	—
20	#1870	C₄	1	4	yes	—
21	#1797	C₂²	1	4	yes	—
22	#1797	C₂²	1	4	yes	—
23	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
28	#1277	C₂²	1	4	yes	—
29	#1277	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×#41	Q₈	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₄×#41	—	4	1	no	—
34	C₄×#41	—	4	1	no	—
35	C₄×#41	—	4	1	no	—
36	C₄×#41	—	4	1	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×#117	Q₈	1	2	yes	—
44	C₂×#117	Q₈	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
47	#431	—	4	1	no	—
48	#431	—	4	1	no	—
49	#431	—	4	2	no	—
50	#431	—	4	2	no	—
51	#423	—	4	2	no	—
52	#423	—	4	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
65	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
66	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	#336	—	2	4	no	—
72	#336	—	2	4	no	—
73	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#335	—	4	2	no	—
76	#335	—	4	2	no	—
77	#335	—	4	2	no	—
78	#334	—	4	2	no	—
79	C₂×#41	—	4	1	no	—
80	C₂×#41	—	4	1	no	—
81	C₂×#41	—	4	4	no	—
82	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
93	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
95	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
103	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
104	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
105	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
106	C₄×D₄	—	4	1	no	—
107	C₄×D₄	—	4	1	no	—
108	C₄×D₄	—	4	2	no	—
109	C₄×D₄	—	4	2	no	—
110	C₄×D₄	—	4	2	no	—
111	C₄×D₄	—	4	2	no	—
112	C₄×D₄	—	4	1	no	—
113	C₄×D₄	—	4	1	no	—
114	#117	—	4	2	no	—
115	#117	—	4	2	no	—
116	#117	—	4	1	no	—
117	#117	—	4	1	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
141	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
144	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
145	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
146	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
147	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
148	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
149	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
150	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
153	#97	—	4	1	no	—
154	#97	—	4	1	no	—
155	C₄×C₈	—	2	2	no	—
156	C₄×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	—	2	2	no	—
158	C₄×C₈	—	2	2	no	—
159	C₄×C₈	—	4	4	no	—
160	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
162	#41	—	4	8	no	—
163	#41	—	4	8	no	—
164	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	4	2	no	—
168	C₂×D₄	—	4	1	no	—
169	C₂×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
203	M₁₆	—	4	8	no	—
204	M₁₆	—	8	8	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	4	no	—
215	C₂×C₈	—	4	4	no	—
216	C₂×C₈	—	4	4	no	—
217	C₂×C₈	—	4	4	no	—
218	C₂×C₈	—	4	4	no	—
219	C₂×C₈	—	4	4	no	—
220	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
221	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄²	—	2	1	no	—
229	C₄²	—	2	1	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	1	no	—
235	C₄²	—	2	1	no	—
236	C₄²	—	2	1	no	—
237	C₄²	—	2	1	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
241	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
242	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	—	2	1	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	4	4	no	—
255	D₄	—	4	8	no	—
256	D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	1	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	1	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	1	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	#430	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
297	C₈	—	2	4	no	—
298	C₈	—	4	2	no	—
299	C₈	—	4	2	no	—
300	C₈	—	4	2	no	—
301	C₈	—	8	4	no	—
302	C₈	—	8	4	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	1	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	1	no	—
310	C₂²	—	4	2	no	—
311	C₂²	—	4	1	no	—
312	C₂²	#2315	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#2906	1	2	yes	—
314	C₂²	#2913	1	2	yes	—
315	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
316	C₄	—	2	1	no	—
317	C₄	—	2	1	no	—
318	C₄	—	2	4	no	—
319	C₄	—	4	1	no	—
320	C₄	—	4	2	no	—
321	C₄	—	4	2	no	—
322	C₄	—	4	1	no	—
323	C₄	—	4	1	no	—
324	C₄	#2976	1	2	yes	—
325	C₄	#2979	1	1	yes	characteristic
326	C₄	#2980	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#3199	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#3202	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#3203	1	2	yes	—
330	C₂	—	8	2	no	—
331	C₂	—	8	1	no	—
332	C₂	#17839	1	4	yes	—
333	C₂	#21936	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#21947	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#21949	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #8832	C₂	semidirect
4. #8831	C₂	semidirect
5. #8599	C₂	semidirect
6. #8597	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21849	2
#21374	2
#8832	2
#8831	2
#8599	2
#8597	2