Subgroups — #217378

Order 512.

622 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21922	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#9603	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9603	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9602	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9601	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8597	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#8595	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#424	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#424	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1923	—	2	2	no	—
16	#1923	—	2	2	no	—
17	#1916	—	2	2	no	—
18	#1916	—	2	2	no	—
19	#1842	C₂²	1	2	yes	—
20	#1831	C₂²	1	2	yes	—
21	#1797	C₂²	1	2	yes	—
22	#1797	C₂²	1	2	yes	—
23	#1768	C₄	1	2	yes	—
24	#1768	C₄	1	2	yes	—
25	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	#1729	C₄	1	1	yes	characteristic
30	#1729	C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
35	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1277	C₂²	1	2	yes	—
37	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1277	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#424	—	2	4	no	—
49	#424	C₈	1	8	yes	complemented
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
63	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
78	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
80	#336	—	2	2	no	—
81	#336	—	2	2	no	—
82	#336	—	2	2	no	—
83	#336	—	2	2	no	—
84	#336	—	2	2	no	—
85	#336	—	2	2	no	—
86	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#335	—	4	2	no	—
91	#335	—	4	2	no	—
92	#334	—	4	2	no	—
93	#334	—	4	2	no	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
97	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
99	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
100	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
101	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
102	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
112	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	#117	—	4	1	no	—
120	#117	—	4	1	no	—
121	#117	C₂×C₈	1	4	yes	—
122	#117	M₁₆	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
142	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
143	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
152	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
153	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
154	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
155	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
157	#97	—	4	2	no	—
158	C₄×C₈	—	2	2	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	2	no	—
162	C₄×C₈	—	4	1	no	—
163	C₄×C₈	—	4	1	no	—
164	C₄×C₈	—	8	2	no	—
165	C₄×C₈	—	8	2	no	—
166	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
167	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
168	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
194	M₁₆	—	4	4	no	—
195	M₁₆	—	4	4	no	—
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	2	1	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	1	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	4	4	no	—
213	C₂×C₈	—	4	2	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
230	C₄⋊C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
231	C₄⋊C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²⋊C₄	C₄⋊C₈	1	8	yes	—
234	C₄²	—	2	1	no	—
235	C₄²	—	2	1	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	4	2	no	—
245	C₄²	—	4	2	no	—
246	C₄²	C₂²×C₈	1	4	yes	—
247	C₄²	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
248	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
249	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	—	2	1	no	—
255	C₂³	—	2	1	no	—
256	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
257	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
299	C₈	—	2	2	no	—
300	C₈	—	2	2	no	—
301	C₈	—	2	4	no	—
302	C₈	—	4	1	no	—
303	C₈	—	4	1	no	—
304	C₈	—	4	2	no	—
305	C₈	—	8	2	no	—
306	C₈	—	8	2	no	—
307	C₈	—	8	2	no	—
308	C₈	—	8	2	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	4	1	no	—
313	C₂²	—	4	1	no	—
314	C₂²	—	4	1	no	—
315	C₂²	—	4	1	no	—
316	C₂²	#2316	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#2912	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#2913	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#2916	1	1	yes	characteristic
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	4	2	no	—
328	C₄	—	4	2	no	—
329	C₄	—	4	1	no	—
330	C₄	—	4	1	no	—
331	C₄	#2972	1	1	yes	characteristic
332	C₄	#2975	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#2982	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#2983	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#3257	1	2	yes	—
336	C₄	#3258	1	2	yes	—
337	C₂	—	4	2	no	—
338	C₂	#17788	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#17789	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#17824	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#17825	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#21951	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#21966	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#21971	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #9603	C₂	semidirect
4. #9603	C₂	semidirect
5. #9602	C₂	semidirect
6. #9601	C₂	semidirect
49. #424	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21922	2
C₄×#424	2
#9603	2
#9602	2
#9601	2
#8597	2
#8596	2
#8595	2