Subgroups — #21740

Order 256.

921 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 256 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1870	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1869	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1817	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1779	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂³×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
12	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
13	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
15	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#407	—	2	4	no	—
24	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
25	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#336	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
35	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
38	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
39	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
40	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
49	C₂³×C₄	D₄	1	4	yes	—
50	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
56	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
58	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
60	C₄×D₄	—	2	8	no	—
61	C₄×D₄	—	2	8	no	—
62	C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₄×D₄	—	2	4	no	—
64	C₄×D₄	—	2	4	no	—
65	C₄×D₄	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
81	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
82	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
83	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
84	C₂⁴	—	2	2	no	—
85	C₂⁴	—	2	4	no	—
86	C₂⁴	—	2	4	no	—
87	C₂⁴	—	2	4	no	—
88	C₂⁴	—	2	4	no	—
89	C₂⁴	—	4	2	no	—
90	C₂⁴	—	4	2	no	—
91	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×D₄	—	2	32	no	—
97	C₂×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂×D₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
103	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
116	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
117	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
118	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
120	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
122	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
123	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
124	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	M₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×C₈	—	2	4	no	—
142	C₂×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂×C₈	—	4	8	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₄²	—	2	4	no	—
153	C₄²	—	2	2	no	—
154	C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂³	—	2	2	no	—
156	C₂³	—	2	2	no	—
157	C₂³	—	2	2	no	—
158	C₂³	—	2	2	no	—
159	C₂³	—	2	8	no	—
160	C₂³	—	2	2	no	—
161	C₂³	—	2	2	no	—
162	C₂³	—	2	4	no	—
163	C₂³	—	2	2	no	—
164	C₂³	—	2	2	no	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	2	4	no	—
167	C₂³	—	2	8	no	—
168	C₂³	—	2	8	no	—
169	C₂³	—	4	4	no	—
170	C₂³	—	4	16	no	—
171	C₂³	—	4	16	no	—
172	C₂³	—	4	4	no	—
173	C₂³	—	4	4	no	—
174	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂³	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
178	C₂³	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
179	C₂³	#131	1	4	yes	—
180	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	D₄	—	2	16	no	—
182	D₄	—	2	16	no	—
183	C₂×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
211	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
214	C₈	—	4	4	no	—
215	C₈	—	4	4	no	—
216	C₂²	—	2	2	no	—
217	C₂²	—	2	2	no	—
218	C₂²	—	2	2	no	—
219	C₂²	—	2	2	no	—
220	C₂²	—	2	8	no	—
221	C₂²	—	2	8	no	—
222	C₂²	—	2	2	no	—
223	C₂²	—	2	2	no	—
224	C₂²	—	2	4	no	—
225	C₂²	—	2	2	no	—
226	C₂²	—	2	8	no	—
227	C₂²	—	4	16	no	—
228	C₂²	—	4	16	no	—
229	C₂²	—	4	2	no	—
230	C₂²	—	4	2	no	—
231	C₂²	—	4	4	no	—
232	C₂²	—	4	4	no	—
233	C₂²	#407	1	4	yes	—
234	C₂²	#408	1	4	yes	—
235	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	#518	1	2	yes	—
237	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
238	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
239	C₄	—	2	2	no	—
240	C₄	—	2	2	no	—
241	C₄	—	2	2	no	—
242	C₄	—	2	4	no	—
243	C₄	—	4	2	no	—
244	C₄	—	4	2	no	—
245	C₄	#534	1	2	yes	—
246	C₄	#534	1	2	yes	—
247	C₂	—	2	4	no	—
248	C₂	—	2	4	no	—
249	C₂	—	4	2	no	—
250	C₂	—	4	4	no	—
251	C₂	#2308	1	1	yes	characteristic
252	C₂	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
253	C₂	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
254	C₂	#2974	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#407	C₂	semidirect
3. C₂²×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
4. #1870	C₂	semidirect
5. #1869	C₂	semidirect
6. #1817	C₂	semidirect
7. #1779	C₂	semidirect
11. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
12. C₂³×C₈	C₂²	semidirect
27. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
28. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
29. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
30. #336	C₂²	semidirect
102. C₂×D₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₄	2
C₂×#407	2
C₂²×C₂²⋊C₈	2
#1870	2
#1869	2
#1817	2
#1779	2