Subgroups — #217462

Order 512.

706 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20777	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1831	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9603	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8830	C₂	1	2	yes	maximal
6	#8829	C₂	1	2	yes	maximal
7	#8807	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8785	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#431	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#1839	—	2	1	no	—
14	#1831	—	2	1	no	—
15	#1831	—	2	1	no	—
16	#1831	C₂²	1	2	yes	—
17	#1831	C₂²	1	2	yes	—
18	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1817	—	2	1	no	—
21	#1797	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
26	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1744	—	2	1	no	—
31	#1744	C₄	1	2	yes	—
32	C₂×#336	—	2	1	no	—
33	C₂×#336	—	2	1	no	—
34	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#335	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#334	C₂²	1	4	yes	—
37	#1277	C₂²	1	4	yes	—
38	#1277	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
40	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	Q₈	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	Q₈	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#431	—	2	4	no	—
48	#431	C₈	1	8	yes	complemented
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₄³	Q₈	1	1	yes	characteristic
73	C₄³	Q₈	1	1	yes	characteristic
74	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#336	—	2	2	no	—
77	#336	—	2	1	no	—
78	#336	—	2	1	no	—
79	#336	—	2	2	no	—
80	#336	—	2	2	no	—
81	#336	—	2	2	no	—
82	#336	—	2	2	no	—
83	#336	—	2	2	no	—
84	#336	—	2	1	no	—
85	#336	—	2	1	no	—
86	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#335	—	4	4	no	—
91	#334	—	4	4	no	—
92	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
114	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
115	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
116	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	—
129	C₂×C₄²	M₁₆	1	4	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
149	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
152	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
153	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
156	C₂²⋊C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
157	C₂²⋊C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
158	C₄×C₈	—	2	4	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	2	no	—
162	C₄×C₈	—	2	2	no	—
163	C₄×C₈	—	4	2	no	—
164	C₄×C₈	—	4	2	no	—
165	C₄×C₈	—	4	4	no	—
166	C₄×C₈	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
167	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
185	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	#108	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	4	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	4	no	—
224	C₂×C₈	—	8	8	no	—
225	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
226	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
227	C₄²	—	2	2	no	—
228	C₄²	—	2	1	no	—
229	C₄²	—	2	1	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	4	1	no	—
246	C₄²	—	4	1	no	—
247	C₄²	—	4	1	no	—
248	C₄²	—	4	1	no	—
249	C₄²	—	4	1	no	—
250	C₄²	—	4	1	no	—
251	C₄²	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
252	C₄²	C₄⋊C₈	1	4	yes	—
253	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
254	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
255	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
257	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
258	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
264	C₂³	#427	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂×#108	1	2	yes	—
266	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#427	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#108	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#108	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#430	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	2	4	no	—
322	C₈	—	4	2	no	—
323	C₈	—	4	2	no	—
324	C₈	—	8	2	no	—
325	C₈	—	8	4	no	—
326	C₈	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	#1564	1	4	yes	—
334	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#427	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2911	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂²×#108	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#430	1	1	yes	characteristic
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	4	1	no	—
352	C₄	—	4	1	no	—
353	C₄	#2988	1	2	yes	—
354	C₄	#2989	1	2	yes	—
355	C₄	#3211	1	2	yes	—
356	C₄	#3232	1	2	yes	—
357	C₂	—	2	4	no	—
358	C₂	C₂×#1564	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#17787	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#17816	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#17818	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#21972	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#21983	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#21993	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #9603	C₂	semidirect
7. #8807	C₂	semidirect
8. #8785	C₂	semidirect
48. #431	C₈	semidirect
152. C₄⋊C₈	C₂×C₈	semidirect
166. C₄×C₈	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20777	2
C₂×#1831	2
C₄×#431	2
#9603	2
#8830	2
#8829	2
#8807	2
#8785	2