Subgroups — #217529

Order 512.

536 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 285 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21926	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20782	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9606	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9605	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8831	C₂	1	2	yes	maximal
7	#8830	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8812	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8809	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8789	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8788	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#1939	—	2	2	no	—
16	#1924	—	2	2	no	—
17	#1917	—	2	2	no	—
18	#1850	—	2	2	no	—
19	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1840	C₄	1	2	yes	—
23	#1832	C₄	1	2	yes	—
24	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1818	C₄	1	2	yes	—
28	#1798	C₄	1	2	yes	—
29	#1797	C₂²	1	2	yes	—
30	#1767	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
33	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
39	#1277	C₂²	1	2	yes	—
40	#1277	C₂²	1	2	yes	—
41	#1277	C₂²	1	2	yes	—
42	#1277	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
44	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#431	—	4	2	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×#97	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
69	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
71	#376	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	#376	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#336	—	2	2	no	—
76	#336	—	2	2	no	—
77	#336	—	2	2	no	—
78	#336	—	2	2	no	—
79	#336	—	2	2	no	—
80	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#335	—	4	2	no	—
87	#334	—	4	2	no	—
88	#334	—	4	2	no	—
89	#334	—	4	2	no	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	#117	—	2	4	no	—
104	#117	—	4	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
124	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
125	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
126	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
127	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
128	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
129	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
130	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
131	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
132	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
133	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
134	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
135	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
136	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
137	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
138	#97	—	8	2	no	—
139	C₄×C₈	—	2	2	no	—
140	C₄×C₈	—	2	2	no	—
141	C₄×C₈	—	2	2	no	—
142	C₄×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄×C₈	—	4	2	no	—
144	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
145	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
146	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
147	#95	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₈	—	2	4	no	—
169	C₂×C₈	—	2	4	no	—
170	C₂×C₈	—	2	4	no	—
171	C₂×C₈	—	2	4	no	—
172	C₂×C₈	—	2	4	no	—
173	C₂×C₈	—	2	4	no	—
174	C₂×C₈	—	4	1	no	—
175	C₂×C₈	—	4	1	no	—
176	C₂×C₈	—	4	1	no	—
177	C₂×C₈	—	4	1	no	—
178	C₂×C₈	—	4	2	no	—
179	C₂×C₈	—	4	2	no	—
180	C₂×C₈	—	4	2	no	—
181	C₂×C₈	—	4	2	no	—
182	C₂×C₈	—	4	2	no	—
183	C₂×C₈	—	4	2	no	—
184	C₂×C₈	—	4	2	no	—
185	C₂×C₈	—	4	2	no	—
186	C₂×C₈	—	4	2	no	—
187	C₂×C₈	—	4	2	no	—
188	C₂×C₈	—	8	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₄²	—	2	2	no	—
194	C₄²	—	2	1	no	—
195	C₄²	—	2	1	no	—
196	C₄²	—	2	2	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	2	2	no	—
199	C₄²	—	2	2	no	—
200	C₄²	—	2	2	no	—
201	C₄²	—	2	2	no	—
202	C₄²	—	2	2	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₄²	—	2	2	no	—
205	C₄²	—	4	2	no	—
206	C₄²	—	4	2	no	—
207	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
208	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
209	C₂³	—	2	1	no	—
210	C₂³	—	2	1	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	#424	1	2	yes	—
214	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂×C₄	—	8	2	no	—
239	C₂×C₄	#424	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
248	C₈	—	4	4	no	—
249	C₈	—	4	4	no	—
250	C₈	—	8	1	no	—
251	C₈	—	8	2	no	—
252	C₈	—	8	1	no	—
253	C₈	—	8	1	no	—
254	C₈	—	8	1	no	—
255	C₈	—	8	2	no	—
256	C₂²	—	2	4	no	—
257	C₂²	—	2	2	no	—
258	C₂²	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	4	1	no	—
260	C₂²	—	4	1	no	—
261	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
262	C₂²	C₂×#424	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	#2905	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	#2912	1	2	yes	—
265	C₂²	#2916	1	2	yes	—
266	C₄	—	2	2	no	—
267	C₄	—	2	2	no	—
268	C₄	—	4	2	no	—
269	C₄	—	4	2	no	—
270	C₄	—	4	2	no	—
271	C₄	—	4	2	no	—
272	C₄	—	4	1	no	—
273	C₄	—	4	1	no	—
274	C₄	#2992	1	4	yes	—
275	C₄	#3221	1	1	yes	characteristic
276	C₄	#3222	1	1	yes	characteristic
277	C₄	#3244	1	2	yes	—
278	C₂	—	4	2	no	—
279	C₂	#17811	1	2	yes	—
280	C₂	#17824	1	2	yes	—
281	C₂	#21977	1	1	yes	characteristic
282	C₂	#21990	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#21995	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #9606	C₂	semidirect
5. #9605	C₂	semidirect
8. #8812	C₂	semidirect
9. #8809	C₂	semidirect
10. #8789	C₂	semidirect
11. #8788	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21972	2
#21926	2
#20782	2
#9606	2
#9605	2
#8831	2
#8830	2
#8812	2
#8809	2
#8789	2
#8788	2