Finite Group Databasebeta

Subgroups — #21778

Order 256.

720 conjugacy classes of subgroups; only the 181 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 720 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 181 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3484	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2888	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1914	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1891	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1829	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1783	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#568	C₂²	1	4	yes	complemented
10	#546	—	2	4	no	—
11	D₄²	—	2	4	no	—
12	#535	C₂²	1	2	yes	—
13	#534	C₄	1	4	yes	—
14	#525	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#120	C₄	1	4	yes	—
16	#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#413	—	2	4	no	—
18	#413	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#100	—	2	4	no	—
20	C₂×#100	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#100	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#407	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#344	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂⁵	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
26	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
27	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
28	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
29	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
31	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×D₄	D₄	1	4	yes	—
34	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#131	—	4	8	no	—
38	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
39	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
40	#127	—	2	2	no	—
41	#124	—	2	2	no	—
42	#123	—	2	4	no	—
43	#123	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	#121	—	2	8	no	—
46	#121	—	2	2	no	—
47	#121	—	2	4	no	—
48	#120	—	2	4	no	—
49	#120	—	2	8	no	—
50	#120	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	#120	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#101	—	2	4	no	—
58	#100	—	2	4	no	—
59	#100	—	2	8	no	—
60	#100	—	4	4	no	—
61	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
62	C₂⁴	—	2	4	no	—
63	C₂⁴	—	4	4	no	—
64	C₂⁴	—	8	4	no	—
65	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
66	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
69	#41	—	2	8	no	—
70	#41	—	4	8	no	—
71	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂×D₄	—	2	8	no	—
75	C₂×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂×D₄	—	2	4	no	—
78	C₂×D₄	—	4	8	no	—
79	C₂×D₄	—	4	4	no	—
80	C₂×D₄	—	4	8	no	—
81	C₂×D₄	—	4	16	no	—
82	C₂×D₄	—	8	8	no	—
83	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
84	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
86	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	M₁₆	—	2	8	no	—
95	M₁₆	—	2	8	no	—
96	M₁₆	—	4	8	no	—
97	C₂×C₈	—	2	8	no	—
98	C₂×C₈	—	4	8	no	—
99	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₄²	—	2	2	no	—
107	C₂³	—	2	1	no	—
108	C₂³	—	2	2	no	—
109	C₂³	—	2	4	no	—
110	C₂³	—	2	2	no	—
111	C₂³	—	2	4	no	—
112	C₂³	—	4	2	no	—
113	C₂³	—	4	4	no	—
114	C₂³	—	4	8	no	—
115	C₂³	—	4	8	no	—
116	C₂³	—	8	8	no	—
117	C₂³	—	8	2	no	—
118	C₂³	—	8	2	no	—
119	C₂³	—	8	4	no	—
120	C₂³	—	8	4	no	—
121	C₂³	—	8	8	no	—
122	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
125	Q₈	—	2	4	no	—
126	D₄	—	2	8	no	—
127	D₄	—	2	8	no	—
128	D₄	—	2	4	no	—
129	D₄	—	4	8	no	—
130	D₄	—	4	8	no	—
131	D₄	—	4	8	no	—
132	D₄	—	4	4	no	—
133	D₄	—	8	8	no	—
134	C₂×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄	—	8	4	no	—
141	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
144	C₈	—	4	8	no	—
145	C₂²	—	2	2	no	—
146	C₂²	—	2	4	no	—
147	C₂²	—	2	4	no	—
148	C₂²	—	2	4	no	—
149	C₂²	—	4	1	no	—
150	C₂²	—	4	4	no	—
151	C₂²	—	4	4	no	—
152	C₂²	—	4	1	no	—
153	C₂²	—	4	2	no	—
154	C₂²	—	4	4	no	—
155	C₂²	—	4	1	no	—
156	C₂²	—	4	2	no	—
157	C₂²	—	8	4	no	—
158	C₂²	—	8	4	no	—
159	C₂²	—	8	16	no	—
160	C₂²	—	16	4	no	—
161	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²	#518	1	2	yes	—
163	C₄	—	2	4	no	—
164	C₄	—	4	4	no	—
165	C₄	—	4	1	no	—
166	C₄	#534	1	4	yes	—
167	C₂	—	2	1	no	—
168	C₂	—	2	2	no	—
169	C₂	—	4	2	no	—
170	C₂	—	4	4	no	—
171	C₂	—	4	4	no	—
172	C₂	—	8	2	no	—
173	C₂	#2308	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	#2308
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	#3484	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2888	C₂	semidirect
3. #1914	C₂	semidirect
4. #1891	C₂	semidirect
5. #1829	C₂	semidirect
6. #1783	C₂	semidirect
9. #568	C₂²	semidirect
18. #413	C₂²	semidirect
21. C₂×#100	C₂²	semidirect
22. #407	C₂²	semidirect
23. #344	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3484	2
#2888	2
#1914	2
#1891	2
#1829	2
#1783	2