Subgroups — #21922

Order 256.

399 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 177 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#1923	C₂	1	4	yes	maximal
3	#1916	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#1842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1831	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1797	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
19	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	#376	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#376	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#336	C₂²	1	4	yes	—
25	#336	C₂²	1	4	yes	—
26	#336	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
32	#117	—	2	4	no	—
33	#117	C₈	1	8	yes	complemented
34	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
53	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
55	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
56	C₄×C₈	—	4	4	no	—
57	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
66	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₈	—	2	4	no	—
86	C₂×C₈	—	2	4	no	—
87	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
89	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
91	C₄²	—	2	2	no	—
92	C₄²	—	2	2	no	—
93	C₄²	—	2	2	no	—
94	C₄²	—	2	1	no	—
95	C₄²	—	2	1	no	—
96	C₄²	—	2	2	no	—
97	C₄²	—	2	2	no	—
98	C₄²	—	2	2	no	—
99	C₄²	—	2	2	no	—
100	C₄²	—	4	2	no	—
101	C₄²	—	4	2	no	—
102	C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	—
103	C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	—
104	C₄²	M₁₆	1	4	yes	—
105	C₄²	#41	1	2	yes	—
106	C₄²	#41	1	2	yes	—
107	C₂³	—	2	1	no	—
108	C₂³	—	2	2	no	—
109	C₂³	—	2	1	no	—
110	C₂³	—	2	2	no	—
111	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
112	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄	—	4	1	no	—
132	C₂×C₄	—	4	1	no	—
133	C₂×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
135	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
136	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
137	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
138	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
141	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
142	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
145	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
146	C₈	—	4	4	no	—
147	C₈	—	4	4	no	—
148	C₂²	—	2	2	no	—
149	C₂²	—	2	4	no	—
150	C₂²	—	4	1	no	—
151	C₂²	—	4	1	no	—
152	C₂²	—	4	2	no	—
153	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
154	C₂²	#520	1	2	yes	—
155	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
157	C₂²	#568	1	2	yes	—
158	C₄	—	2	2	no	—
159	C₄	—	2	2	no	—
160	C₄	—	2	4	no	—
161	C₄	—	2	4	no	—
162	C₄	—	2	4	no	—
163	C₄	—	4	1	no	—
164	C₄	—	4	1	no	—
165	C₄	—	4	2	no	—
166	C₄	#431	1	4	yes	—
167	C₄	#540	1	1	yes	characteristic
168	C₄	#541	1	1	yes	characteristic
169	C₄	#542	1	2	yes	—
170	C₂	—	4	2	no	—
171	C₂	#2314	1	1	yes	characteristic
172	C₂	C₂×#431	1	1	yes	characteristic
173	C₂	#2921	1	1	yes	characteristic
174	C₂	#2988	1	2	yes	—
175	C₂	#2989	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #1916	C₂	semidirect
4. #1842	C₂	semidirect
5. #1831	C₂	semidirect
7. C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
33. #117	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#117	2
#1923	2
#1916	2
#1842	2
#1831	2
#1797	2
C₄×C₄⋊C₈	2