Subgroups — #219366

Order 512.

762 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23799	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₈×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9643	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#8948	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8945	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8787	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8133	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
13	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2096	C₄	1	2	yes	—
18	#2094	C₄	1	2	yes	—
19	#2014	C₄	1	2	yes	—
20	#2013	C₄	1	2	yes	—
21	#1984	C₂²	1	2	yes	—
22	#1954	—	2	1	no	—
23	#1954	—	2	1	no	—
24	#1954	C₂²	1	2	yes	—
25	#1939	—	2	1	no	—
26	#1939	—	2	1	no	—
27	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
30	C₈×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
31	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
36	#1277	C₂²	1	4	yes	—
37	#1273	C₂²	1	2	yes	—
38	#1273	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₈×Q₈	—	4	4	no	—
48	C₄×SD₁₆	—	4	4	no	—
49	C₄×SD₁₆	—	4	4	no	—
50	C₈×D₄	—	4	4	no	—
51	C₈×D₄	—	4	4	no	—
52	C₈×D₄	—	4	4	no	—
53	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#390	—	2	1	no	—
77	#390	—	2	1	no	—
78	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#389	—	2	1	no	—
80	#389	—	2	1	no	—
81	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
85	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#336	—	2	2	no	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	1	no	—
89	#336	—	2	1	no	—
90	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	Q₈⋊C₈	—	4	4	no	—
93	D₄⋊C₈	—	4	4	no	—
94	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
97	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
100	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
101	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
114	#127	—	2	4	no	—
115	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
116	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
117	C₄×D₄	—	2	4	no	—
118	C₄×D₄	—	2	4	no	—
119	C₄×D₄	—	4	2	no	—
120	C₄×D₄	—	4	2	no	—
121	C₄×D₄	—	4	2	no	—
122	C₄×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	#106	—	4	4	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
147	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
148	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
149	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
150	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
151	#103	—	4	4	no	—
152	#102	—	4	4	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
156	C₄×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	—	2	2	no	—
158	C₄×C₈	—	2	2	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	2	no	—
162	C₄×C₈	—	2	2	no	—
163	C₄×C₈	—	2	2	no	—
164	C₄×C₈	—	2	2	no	—
165	C₄×C₈	—	4	4	no	—
166	C₄×C₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
167	#95	—	2	2	no	—
168	#95	—	2	2	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
173	C₂×Q₈	#131	1	4	yes	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	#131	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
200	SD₁₆	—	4	16	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	4	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	8	8	no	—
224	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	4	1	no	—
241	C₄²	—	4	1	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	4	2	no	—
244	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
245	C₄²	#135	1	2	yes	—
246	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
247	C₄²	#137	1	2	yes	—
248	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
249	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	4	2	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	2	no	—
254	C₂³	—	4	2	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
258	Q₈	—	2	8	no	—
259	Q₈	—	4	4	no	—
260	D₄	—	2	8	no	—
261	D₄	—	4	8	no	—
262	D₄	—	4	8	no	—
263	D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	2	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	—	8	2	no	—
287	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#440	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#440	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	2	2	no	—
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	4	1	no	—
304	C₈	—	4	1	no	—
305	C₈	—	4	4	no	—
306	C₈	—	8	2	no	—
307	C₈	—	8	2	no	—
308	C₈	—	8	2	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	8	2	no	—
313	C₂²	—	8	2	no	—
314	C₂²	—	8	2	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#2929	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#2929	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#440	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#2955	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#2955	1	1	yes	characteristic
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	8	2	no	—
330	C₄	—	8	2	no	—
331	C₄	#2977	1	4	yes	—
332	C₄	#3206	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#3208	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#3210	1	1	yes	characteristic
336	C₂	—	8	4	no	—
337	C₂	#17901	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#17902	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#17905	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#17908	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#22261	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#22268	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#22281	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#127	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₈×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
5. #9643	C₂	semidirect
6. #8948	C₂	semidirect
7. #8945	C₂	semidirect
8. #8787	C₂	semidirect
9. #8133	C₂	semidirect
166. C₄×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23799	2
C₈×C₄⋊Q₈	2
C₈×#127	2
#9644	2
#9643	2
#8948	2
#8945	2
#8787	2
#8133	2