Subgroups — #219372

Order 512.

706 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22208	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#9640	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#8948	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8947	C₂	1	2	yes	maximal
6	#8946	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8945	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8784	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8133	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#495	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
17	#1984	C₂²	1	2	yes	—
18	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#1969	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1968	C₄	1	2	yes	—
21	#1958	C₄	1	2	yes	—
22	#1954	C₂²	1	2	yes	—
23	#1923	—	2	2	no	—
24	#1923	—	2	2	no	—
25	#1850	—	2	2	no	—
26	#1850	—	2	2	no	—
27	#1846	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#1842	C₂²	1	2	yes	—
29	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1277	C₂²	1	2	yes	—
38	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1273	C₂²	1	2	yes	—
40	#1273	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
45	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
48	#495	C₈	1	8	yes	complemented
49	C₈×Q₈	—	4	2	no	—
50	C₈×Q₈	—	4	2	no	—
51	C₄×Q₁₆	—	4	2	no	—
52	C₄×SD₁₆	—	4	2	no	—
53	C₄×SD₁₆	—	4	2	no	—
54	C₄×D₈	—	4	2	no	—
55	C₈×D₄	—	4	2	no	—
56	C₈×D₄	—	4	2	no	—
57	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#388	—	2	2	no	—
84	#388	—	2	2	no	—
85	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	1	no	—
92	#336	—	2	1	no	—
93	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
94	#336	D₄	1	2	yes	—
95	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
96	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
97	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
98	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
99	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
100	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
105	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
106	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
108	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
109	C₂×D₈	—	4	1	no	—
110	C₂×D₈	—	4	1	no	—
111	C₂×D₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	#124	—	2	4	no	—
125	#124	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
126	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₄×D₄	—	2	2	no	—
131	C₄×D₄	—	2	2	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	#107	—	4	1	no	—
151	#107	—	4	1	no	—
152	#106	—	4	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
160	#103	—	4	2	no	—
161	#103	—	4	2	no	—
162	#102	—	4	2	no	—
163	#102	—	4	2	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	4	1	no	—
175	C₄×C₈	—	4	1	no	—
176	C₄×C₈	—	4	4	no	—
177	C₄×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
178	#95	—	2	2	no	—
179	#95	—	2	2	no	—
180	#95	—	2	2	no	—
181	#95	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	Q₁₆	—	4	4	no	—
212	SD₁₆	—	4	8	no	—
213	D₈	—	4	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	8	8	no	—
240	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	2	1	no	—
256	C₄²	—	2	1	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	4	1	no	—
260	C₄²	—	4	1	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	2	no	—
263	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
264	C₄²	#131	1	2	yes	—
265	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
266	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
275	Q₈	—	2	4	no	—
276	Q₈	—	2	4	no	—
277	Q₈	—	4	2	no	—
278	Q₈	—	4	2	no	—
279	D₄	—	2	4	no	—
280	D₄	—	2	4	no	—
281	D₄	—	4	2	no	—
282	D₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	2	2	no	—
323	C₈	—	4	2	no	—
324	C₈	—	4	2	no	—
325	C₈	—	4	1	no	—
326	C₈	—	4	1	no	—
327	C₈	—	8	2	no	—
328	C₈	—	8	2	no	—
329	C₈	—	8	2	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	—	8	2	no	—
336	C₂²	—	8	2	no	—
337	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#2932	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#2951	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#2952	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	4	1	no	—
348	C₄	—	4	1	no	—
349	C₄	—	4	4	no	—
350	C₄	—	8	2	no	—
351	C₄	—	8	2	no	—
352	C₄	#2972	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2972	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2981	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2981	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#3224	1	2	yes	—
357	C₄	#3225	1	2	yes	—
358	C₂	—	8	4	no	—
359	C₂	#17857	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#17858	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#17992	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#17993	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#22260	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#22274	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#22282	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1744 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22208	C₂	semidirect
3. #9640	C₂	semidirect
4. #8948	C₂	semidirect
6. #8946	C₂	semidirect
7. #8945	C₂	semidirect
8. #8784	C₂	semidirect
9. #8133	C₂	semidirect
48. #495	C₈	semidirect
105. C₂×Q₁₆	C₂×C₈	semidirect
108. C₂×SD₁₆	C₂×C₈	semidirect
125. #124	C₂×C₈	semidirect
177. C₄×C₈	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22208	2
C₄×#495	2
#9640	2
#8948	2
#8947	2
#8946	2
#8945	2
#8784	2
#8133	2