Subgroups — #219384

Order 512.

788 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₄×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₈×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9638	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9637	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#8952	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#8945	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8784	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#492	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
14	C₂×C₈×D₄	—	2	1	no	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1984	C₂²	1	2	yes	—
19	#1968	C₄	1	4	yes	—
20	#1957	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1956	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#1954	—	2	1	no	—
23	#1954	—	2	1	no	—
24	#1954	C₂²	1	2	yes	—
25	#1939	—	2	1	no	—
26	#1939	—	2	1	no	—
27	#1844	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1770	—	2	1	no	—
31	#1770	—	2	1	no	—
32	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
37	#1277	C₂²	1	4	yes	—
38	#1273	C₂²	1	2	yes	—
39	#1273	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
48	#492	—	2	4	no	—
49	#446	—	4	4	no	—
50	C₄×SD₁₆	—	4	4	no	—
51	C₄×SD₁₆	—	4	4	no	—
52	C₈×D₄	—	4	4	no	—
53	C₈×D₄	—	4	4	no	—
54	C₈×D₄	—	4	4	no	—
55	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×#97	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#390	—	2	1	no	—
84	#390	—	2	1	no	—
85	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#389	—	2	1	no	—
87	#389	—	2	1	no	—
88	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#336	—	2	2	no	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	Q₈⋊C₈	—	4	4	no	—
96	D₄⋊C₈	—	4	4	no	—
97	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
100	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	#127	—	2	2	no	—
120	#127	M₁₆	1	4	yes	—
121	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	2	4	no	—
125	C₄×D₄	—	4	2	no	—
126	C₄×D₄	—	4	2	no	—
127	C₄×D₄	—	4	2	no	—
128	C₄×D₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	#106	—	4	4	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
153	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
157	#103	—	4	4	no	—
158	#102	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
162	#97	—	4	4	no	—
163	C₄×C₈	—	2	4	no	—
164	C₄×C₈	—	2	4	no	—
165	C₄×C₈	—	2	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	4	2	no	—
177	C₄×C₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
178	#95	—	2	2	no	—
179	#95	—	2	2	no	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	SD₁₆	—	4	16	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	8	8	no	—
237	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
258	C₄²	#131	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
260	C₄²	#135	1	2	yes	—
261	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
262	C₄²	#137	1	2	yes	—
263	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
264	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
273	Q₈	—	4	4	no	—
274	Q₈	—	4	4	no	—
275	D₄	—	2	8	no	—
276	D₄	—	4	8	no	—
277	D₄	—	4	8	no	—
278	D₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	2	no	—
296	C₂×C₄	—	8	2	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#435	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#440	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#440	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#443	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#444	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	2	2	no	—
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	4	4	no	—
321	C₈	—	4	1	no	—
322	C₈	—	4	1	no	—
323	C₈	—	4	2	no	—
324	C₈	—	8	2	no	—
325	C₈	—	8	2	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	8	2	no	—
330	C₂²	—	8	2	no	—
331	C₂²	—	8	2	no	—
332	C₂²	—	8	2	no	—
333	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#2931	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#440	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	—	8	2	no	—
345	C₄	—	8	2	no	—
346	C₄	#1582	1	4	yes	—
347	C₄	#1585	1	4	yes	—
348	C₄	#2974	1	2	yes	—
349	C₄	#2979	1	2	yes	—
350	C₄	#3206	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#3208	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#3210	1	1	yes	characteristic
354	C₂	—	8	4	no	—
355	C₂	C₂×#1582	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂×#1585	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#17957	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#17960	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#22262	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#22268	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#22280	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#127	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21712	C₂	semidirect
5. #9637	C₂	semidirect
6. #8952	C₂	semidirect
7. #8945	C₂	semidirect
8. #8784	C₂	semidirect
9. #8131	C₂	semidirect
177. C₄×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21712	2
C₄×#492	2
C₈×#127	2
#9638	2
#9637	2
#8952	2
#8945	2
#8784	2
#8131	2