Subgroups — #219417

Order 512.

694 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23796	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22264	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#22208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#9645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#8951	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8949	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8948	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8947	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8789	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2095	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#2094	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#2092	C₄	1	2	yes	—
22	#2014	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#2012	C₄	1	2	yes	—
24	#2011	C₄	1	1	yes	characteristic
25	#1984	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1954	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1954	C₂²	1	2	yes	—
28	#1923	—	2	2	no	—
29	#1870	—	2	2	no	—
30	#1870	—	2	2	no	—
31	#1850	—	2	2	no	—
32	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	#1277	C₂²	1	2	yes	—
42	#1277	C₂²	1	2	yes	—
43	#1273	C₂²	1	2	yes	—
44	#1273	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
49	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₈×Q₈	—	4	2	no	—
56	C₄×SD₁₆	—	4	2	no	—
57	C₄×SD₁₆	—	4	2	no	—
58	C₄×D₈	—	4	2	no	—
59	C₄×D₈	—	4	2	no	—
60	#436	—	4	2	no	—
61	#436	—	4	2	no	—
62	C₈×D₄	—	4	2	no	—
63	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	#390	—	2	2	no	—
86	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	#388	—	2	2	no	—
89	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	#382	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#336	—	2	2	no	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#336	—	2	2	no	—
96	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	#336	D₄	1	2	yes	—
100	#336	D₄	1	2	yes	—
101	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
102	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
103	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
104	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
105	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
111	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
113	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
114	C₂×D₈	—	2	4	no	—
115	C₂×D₈	—	4	2	no	—
116	C₂×D₈	—	4	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	#127	—	4	2	no	—
132	#124	—	2	2	no	—
133	#124	—	2	2	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄×D₄	—	2	2	no	—
137	C₄×D₄	—	2	2	no	—
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	—	8	2	no	—
143	C₄×D₄	—	8	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	#107	—	4	2	no	—
162	#106	—	4	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
169	#103	—	4	2	no	—
170	#102	—	4	2	no	—
171	#102	—	4	2	no	—
172	#102	—	4	2	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	—	4	2	no	—
185	#95	—	2	2	no	—
186	#95	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	1	no	—
188	C₂⁴	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	#131	1	2	yes	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	1	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	8	2	no	—
204	C₂×D₄	—	8	2	no	—
205	C₂×D₄	#131	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	SD₁₆	—	4	8	no	—
226	D₈	—	4	8	no	—
227	M₁₆	—	8	8	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	1	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	8	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
264	C₄²	—	2	1	no	—
265	C₄²	—	2	1	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	4	1	no	—
271	C₄²	—	4	1	no	—
272	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
273	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	4	1	no	—
276	C₂³	—	4	1	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	—	4	2	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	4	no	—
288	Q₈	—	4	2	no	—
289	D₄	—	2	4	no	—
290	D₄	—	4	2	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	D₄	—	4	2	no	—
293	D₄	—	4	2	no	—
294	D₄	—	4	2	no	—
295	D₄	—	8	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂×C₄	—	4	1	no	—
306	C₂×C₄	—	4	1	no	—
307	C₂×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	1	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	1	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
329	C₈	—	4	1	no	—
330	C₈	—	4	1	no	—
331	C₈	—	4	2	no	—
332	C₈	—	4	2	no	—
333	C₈	—	4	2	no	—
334	C₈	—	8	2	no	—
335	C₈	—	8	1	no	—
336	C₈	—	8	1	no	—
337	C₈	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	8	1	no	—
341	C₂²	—	8	1	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	8	2	no	—
347	C₂²	—	8	2	no	—
348	C₂²	—	8	2	no	—
349	C₂²	—	8	2	no	—
350	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2929	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2930	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2946	1	2	yes	—
354	C₂²	#2957	1	2	yes	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	8	2	no	—
360	C₄	—	8	1	no	—
361	C₄	—	8	1	no	—
362	C₄	#2976	1	2	yes	—
363	C₄	#2976	1	2	yes	—
364	C₄	#3220	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#3221	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#3224	1	2	yes	—
367	C₂	—	8	2	no	—
368	C₂	—	16	2	no	—
369	C₂	#17920	1	2	yes	—
370	C₂	#17946	1	2	yes	—
371	C₂	#22263	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#22279	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#22282	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	#2011	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1744 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22264	C₂	semidirect
3. #22208	C₂	semidirect
4. #9645	C₂	semidirect
5. #9644	C₂	semidirect
6. #8951	C₂	semidirect
7. #8949	C₂	semidirect
8. #8948	C₂	semidirect
9. #8947	C₂	semidirect
10. #8789	C₂	semidirect
11. #8135	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23796	2
#22264	2
#22208	2
#9645	2
#9644	2
#8951	2
#8949	2
#8948	2
#8947	2
#8789	2
#8135	2