Subgroups — #219554

Order 512.

635 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 275 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21733	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#21697	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#19652	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9773	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9755	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9295	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9294	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8790	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3208	C₂²	1	4	yes	—
11	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2961	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#442	—	2	1	no	—
15	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
16	#2328	C₂²	1	2	yes	—
17	#1995	C₂²	1	2	yes	—
18	#1972	—	2	1	no	—
19	#1970	—	2	1	no	—
20	#1961	C₂²	1	2	yes	—
21	#1946	—	2	1	no	—
22	#1945	—	2	1	no	—
23	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1773	—	2	1	no	—
26	#1772	—	2	1	no	—
27	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1715	C₄	1	4	yes	complemented
29	#1706	C₄	1	4	yes	complemented
30	#1545	C₂²	1	4	yes	—
31	#1518	C₂²	1	4	yes	—
32	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1286	C₂²	1	4	yes	—
35	#1275	C₂²	1	2	yes	—
36	#1274	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
39	#533	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
42	#500	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
43	#499	—	2	1	no	—
44	#499	—	2	1	no	—
45	#498	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
46	#493	—	2	1	no	—
47	#493	—	2	1	no	—
48	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	#492	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	#486	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
52	#460	—	4	4	no	—
53	#450	—	4	4	no	—
54	#446	—	4	4	no	—
55	#442	—	4	4	no	—
56	C₄×D₈	—	4	4	no	—
57	#431	C₂³	1	2	yes	—
58	#431	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#108	—	2	1	no	—
60	C₂×#108	—	2	1	no	—
61	#427	—	2	1	no	—
62	#427	—	2	1	no	—
63	C₂×#107	—	2	1	no	—
64	C₂×#106	—	2	1	no	—
65	#424	—	2	2	no	—
66	#423	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#102	—	2	2	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	#405	—	2	2	no	—
70	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#390	—	2	2	no	—
77	#386	—	4	4	no	—
78	#382	C₂³	1	2	yes	—
79	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#339	—	2	2	no	—
81	#339	—	2	2	no	—
82	#331	—	4	4	no	—
83	#328	—	4	4	no	—
84	#322	—	2	1	no	—
85	#322	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
86	C₈²	—	2	1	no	—
87	C₈²	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
91	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
92	C₂×D₈	—	2	2	no	—
93	C₂×D₈	—	2	2	no	—
94	C₂×D₈	—	2	2	no	—
95	C₂×D₈	—	2	2	no	—
96	C₂×D₈	—	4	2	no	—
97	C₂×D₈	—	4	2	no	—
98	C₂×D₈	—	4	2	no	—
99	C₂×D₈	—	4	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	#127	—	2	2	no	—
107	#127	—	2	4	no	—
108	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	#125	—	2	2	no	—
110	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₄×D₄	—	4	4	no	—
113	C₄×D₄	—	4	4	no	—
114	#117	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	#108	—	4	2	no	—
122	#108	—	4	2	no	—
123	#107	—	2	2	no	—
124	#107	—	2	2	no	—
125	#107	—	4	2	no	—
126	#106	—	2	2	no	—
127	#106	—	2	2	no	—
128	#106	—	4	2	no	—
129	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
130	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
133	#102	—	4	8	no	—
134	#102	—	4	4	no	—
135	#102	—	4	4	no	—
136	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
138	#97	—	2	2	no	—
139	#97	—	2	2	no	—
140	#97	—	2	2	no	—
141	#97	—	4	2	no	—
142	C₄×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄×C₈	—	2	2	no	—
144	C₄×C₈	—	4	2	no	—
145	C₄×C₈	SD₁₆	1	4	yes	complemented
146	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
150	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
151	#95	—	2	2	no	—
152	#95	—	2	4	no	—
153	C₂⁴	—	4	2	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	8	no	—
157	C₂×D₄	—	4	2	no	—
158	C₂×D₄	—	4	4	no	—
159	C₂×D₄	—	4	2	no	—
160	C₂×D₄	—	4	2	no	—
161	C₂×D₄	—	4	2	no	—
162	C₂×D₄	—	4	2	no	—
163	C₂×D₄	—	16	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
169	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
171	SD₁₆	—	16	8	no	—
172	D₈	—	4	4	no	—
173	D₈	—	4	4	no	—
174	D₈	—	4	4	no	—
175	D₈	—	4	4	no	—
176	M₁₆	—	4	2	no	—
177	M₁₆	—	4	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	2	1	no	—
180	C₂×C₈	—	2	4	no	—
181	C₂×C₈	—	2	1	no	—
182	C₂×C₈	—	2	1	no	—
183	C₂×C₈	—	2	1	no	—
184	C₂×C₈	—	4	2	no	—
185	C₂×C₈	—	4	2	no	—
186	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
191	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
192	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
193	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
194	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
203	C₄²	—	2	1	no	—
204	C₄²	—	2	1	no	—
205	C₄²	—	2	1	no	—
206	C₄²	—	4	2	no	—
207	C₄²	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
208	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
211	C₂³	—	4	4	no	—
212	C₂³	—	8	4	no	—
213	C₂³	—	8	4	no	—
214	C₂³	—	8	2	no	—
215	C₂³	—	8	2	no	—
216	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
217	Q₈	—	8	4	no	—
218	D₄	—	4	4	no	—
219	D₄	—	4	4	no	—
220	D₄	—	8	8	no	—
221	D₄	—	8	2	no	—
222	D₄	—	8	2	no	—
223	D₄	—	16	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂×C₄	—	8	4	no	—
231	C₂×C₄	—	8	2	no	—
232	C₂×C₄	—	16	8	no	—
233	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
241	C₈	—	2	2	no	—
242	C₈	—	4	4	no	—
243	C₈	—	4	1	no	—
244	C₈	—	8	2	no	—
245	C₈	—	8	2	no	—
246	C₈	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
247	C₈	C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
248	C₈	#440	1	2	yes	—
249	C₈	#440	1	2	yes	—
250	C₂²	—	2	2	no	—
251	C₂²	—	8	8	no	—
252	C₂²	—	8	4	no	—
253	C₂²	—	16	2	no	—
254	C₂²	—	16	2	no	—
255	C₂²	—	16	4	no	—
256	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	#3208	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	#3210	1	1	yes	characteristic
259	C₄	—	2	2	no	—
260	C₄	—	2	2	no	—
261	C₄	—	4	2	no	—
262	C₄	—	8	1	no	—
263	C₄	—	8	4	no	—
264	C₄	—	16	2	no	—
265	C₄	C₂×C₄×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
266	C₄	C₂×#440	1	1	yes	characteristic
267	C₄	#3206	1	1	yes	characteristic
268	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
269	C₂	—	2	1	no	—
270	C₂	—	2	1	no	—
271	C₂	—	16	4	no	—
272	C₂	#22268	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#22286	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2328
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21733	C₂	semidirect
5. #9755	C₂	semidirect
6. #9295	C₂	semidirect
7. #9294	C₂	semidirect
8. #8790	C₂	semidirect
9. #8137	C₂	semidirect
28. #1715	C₄	semidirect
29. #1706	C₄	semidirect
42. #500	C₂×C₄	semidirect
45. #498	C₂×C₄	semidirect
50. #492	C₂×C₄	semidirect
51. #486	C₂×C₄	semidirect
85. #322	C₂×C₄	semidirect
87. C₈²	C₂×C₄	semidirect
145. C₄×C₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21733	2
#21697	2
#19652	2
#9773	2
#9755	2
#9295	2
#9294	2
#8790	2
#8137	2