Subgroups — #219557

Order 512.

687 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#21695	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9768	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9756	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9300	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9299	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9293	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9291	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8790	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3226	C₂²	1	2	yes	—
13	#3205	C₂²	1	2	yes	—
14	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#444	—	2	1	no	—
17	C₂×#443	—	2	1	no	—
18	C₂×#440	—	2	1	no	—
19	C₂×C₄×SD₁₆	—	2	1	no	—
20	#2932	C₂²	1	2	yes	—
21	#2328	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2327	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1975	—	2	1	no	—
24	#1974	—	2	1	no	—
25	#1973	—	2	1	no	—
26	#1968	—	2	1	no	—
27	#1963	C₂²	1	2	yes	—
28	#1961	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1960	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1722	C₄	1	2	yes	complemented
34	#1721	C₄	1	2	yes	complemented
35	#1706	C₄	1	4	yes	complemented
36	#1546	C₂²	1	2	yes	—
37	#1545	C₂²	1	2	yes	—
38	#1517	C₂²	1	2	yes	—
39	#1517	C₂²	1	2	yes	—
40	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1286	C₂²	1	2	yes	—
43	#1286	C₂²	1	2	yes	—
44	#1275	C₂²	1	2	yes	—
45	#1274	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#135	—	2	1	no	—
47	C₂×#135	—	2	1	no	—
48	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
50	C₂×#131	—	2	2	no	—
51	#532	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
56	#500	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	#495	—	2	1	no	—
58	#495	—	2	1	no	—
59	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
60	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
62	#492	—	2	1	no	—
63	#492	—	2	1	no	—
64	#492	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#492	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#492	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
67	#486	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	#486	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
69	#480	—	4	2	no	—
70	#474	—	4	2	no	—
71	#459	—	4	2	no	—
72	#447	—	4	2	no	—
73	#444	—	4	4	no	—
74	#443	—	4	4	no	—
75	#440	—	4	4	no	—
76	C₄×SD₁₆	—	4	4	no	—
77	#435	—	4	2	no	—
78	#435	—	4	2	no	—
79	#431	C₂³	1	2	yes	—
80	#431	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#108	—	2	1	no	—
82	C₂×#108	—	2	1	no	—
83	C₂×#107	—	2	1	no	—
84	C₂×#106	—	2	1	no	—
85	#423	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#104	—	2	2	no	—
87	C₂×#104	—	2	2	no	—
88	C₂×#103	—	2	1	no	—
89	C₂×#103	—	2	1	no	—
90	C₂×#102	—	2	1	no	—
91	C₂×#102	—	2	1	no	—
92	#408	—	2	2	no	—
93	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#391	—	2	1	no	—
100	#390	—	2	1	no	—
101	#387	—	4	2	no	—
102	#386	—	4	2	no	—
103	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#332	—	4	2	no	—
107	#331	—	4	2	no	—
108	#327	—	4	2	no	—
109	#327	—	4	2	no	—
110	#322	—	2	1	no	—
111	#322	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
112	C₈²	—	2	1	no	—
113	C₈²	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
119	#135	—	4	2	no	—
120	#135	—	4	2	no	—
121	#135	—	4	2	no	—
122	#135	—	4	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	1	no	—
136	C₂×D₈	—	2	1	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	#131	—	4	4	no	—
139	#131	—	4	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	#127	—	2	1	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	#124	—	2	2	no	—
156	#121	—	2	2	no	—
157	#121	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	2	2	no	—
162	C₄×D₄	—	4	2	no	—
163	C₄×D₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	#108	—	4	2	no	—
175	#108	—	4	2	no	—
176	#107	—	4	4	no	—
177	#107	—	4	2	no	—
178	#106	—	4	2	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	#104	—	4	4	no	—
184	#104	—	4	4	no	—
185	#103	—	4	2	no	—
186	#103	—	4	2	no	—
187	#102	—	4	4	no	—
188	#102	—	4	4	no	—
189	#102	—	4	2	no	—
190	#102	—	4	2	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
194	#97	—	2	2	no	—
195	#97	—	2	2	no	—
196	#97	—	2	2	no	—
197	C₄×C₈	—	2	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	D₈	1	4	yes	complemented
200	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
201	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
204	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
205	#95	—	2	2	no	—
206	#95	—	2	2	no	—
207	#95	—	2	2	no	—
208	#95	—	4	2	no	—
209	C₂⁴	—	4	1	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	1	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×D₄	—	4	1	no	—
231	C₂×D₄	—	4	1	no	—
232	C₂×D₄	—	4	1	no	—
233	C₂×D₄	—	16	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
244	Q₁₆	—	4	2	no	—
245	Q₁₆	—	4	2	no	—
246	SD₁₆	—	4	4	no	—
247	SD₁₆	—	4	4	no	—
248	SD₁₆	—	4	4	no	—
249	SD₁₆	—	4	4	no	—
250	SD₁₆	—	4	4	no	—
251	SD₁₆	—	4	4	no	—
252	D₈	—	4	2	no	—
253	D₈	—	4	2	no	—
254	D₈	—	16	4	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	8	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	8	4	no	—
267	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
289	C₄²	—	2	1	no	—
290	C₄²	—	2	1	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	8	2	no	—
293	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	—	8	2	no	—
300	C₂³	—	8	2	no	—
301	C₂³	—	8	1	no	—
302	C₂³	—	8	1	no	—
303	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	4	2	no	—
305	Q₈	—	4	2	no	—
306	Q₈	—	4	2	no	—
307	Q₈	—	4	2	no	—
308	Q₈	—	8	1	no	—
309	Q₈	—	8	1	no	—
310	D₄	—	4	2	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	8	2	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	1	no	—
320	D₄	—	8	1	no	—
321	D₄	—	16	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	1	no	—
329	C₂×C₄	—	8	1	no	—
330	C₂×C₄	—	8	1	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	1	no	—
336	C₂×C₄	—	8	1	no	—
337	C₂×C₄	—	16	4	no	—
338	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
346	C₈	—	2	2	no	—
347	C₈	—	4	4	no	—
348	C₈	—	4	1	no	—
349	C₈	—	8	2	no	—
350	C₈	—	8	2	no	—
351	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
352	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
353	C₈	#442	1	2	yes	—
354	C₈	#442	1	2	yes	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	8	4	no	—
357	C₂²	—	8	2	no	—
358	C₂²	—	8	2	no	—
359	C₂²	—	8	2	no	—
360	C₂²	—	8	2	no	—
361	C₂²	—	16	1	no	—
362	C₂²	—	16	1	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3205	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3207	1	1	yes	characteristic
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	8	1	no	—
371	C₄	—	8	2	no	—
372	C₄	—	8	2	no	—
373	C₄	—	16	1	no	—
374	C₄	—	16	1	no	—
375	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#3205	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
379	C₂	—	2	1	no	—
380	C₂	—	2	1	no	—
381	C₂	—	16	2	no	—
382	C₂	—	16	2	no	—
383	C₂	#22269	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#22284	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2328
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#19660	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21707	C₂	semidirect
2. #21695	C₂	semidirect
4. #9768	C₂	semidirect
5. #9756	C₂	semidirect
6. #9300	C₂	semidirect
7. #9299	C₂	semidirect
8. #9293	C₂	semidirect
9. #9291	C₂	semidirect
10. #8790	C₂	semidirect
11. #8137	C₂	semidirect
33. #1722	C₄	semidirect
34. #1721	C₄	semidirect
35. #1706	C₄	semidirect
56. #500	C₂×C₄	semidirect
59. #494	C₂×C₄	semidirect
61. #493	C₂×C₄	semidirect
66. #492	C₂×C₄	semidirect
68. #486	C₂×C₄	semidirect
111. #322	C₂×C₄	semidirect
113. C₈²	C₂×C₄	semidirect
199. C₄×C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21707	2
#21695	2
#19660	2
#9768	2
#9756	2
#9300	2
#9299	2
#9293	2
#9291	2
#8790	2
#8137	2