Subgroups — #219559

Order 512.

721 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#21697	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19661	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9773	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9756	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9299	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#9293	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8793	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3205	C₂²	1	4	yes	—
11	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#444	—	2	1	no	—
14	C₂×#443	—	2	1	no	—
15	C₂×#442	—	2	1	no	—
16	C₂×C₄×D₈	—	2	1	no	—
17	#2932	C₂²	1	2	yes	—
18	#2328	C₂²	1	2	yes	—
19	#1975	—	2	1	no	—
20	#1974	—	2	1	no	—
21	#1972	—	2	1	no	—
22	#1970	—	2	1	no	—
23	#1963	C₂²	1	2	yes	—
24	#1961	C₂²	1	2	yes	—
25	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1721	C₄	1	4	yes	complemented
29	#1712	C₄	1	2	yes	complemented
30	#1709	C₄	1	2	yes	complemented
31	#1545	C₂²	1	4	yes	—
32	#1517	C₂²	1	4	yes	—
33	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1286	C₂²	1	4	yes	—
36	#1275	C₂²	1	2	yes	—
37	#1274	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#135	—	2	1	no	—
39	C₂×#135	—	2	1	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
42	C₂×#131	—	2	2	no	—
43	#532	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	#495	—	2	1	no	—
47	#495	—	2	1	no	—
48	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#493	—	2	1	no	—
50	#493	—	2	1	no	—
51	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#493	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
55	#492	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
56	#486	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
57	#459	—	4	4	no	—
58	#447	—	4	4	no	—
59	#444	—	4	4	no	—
60	#443	—	4	4	no	—
61	#442	—	4	4	no	—
62	C₄×D₈	—	4	4	no	—
63	#435	—	4	4	no	—
64	#431	C₂³	1	2	yes	—
65	#431	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#108	—	2	1	no	—
67	C₂×#108	—	2	1	no	—
68	C₂×#107	—	2	1	no	—
69	C₂×#106	—	2	1	no	—
70	#423	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#104	—	2	2	no	—
72	C₂×#104	—	2	2	no	—
73	C₂×#102	—	2	2	no	—
74	C₂×#102	—	2	2	no	—
75	#408	—	2	2	no	—
76	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#390	—	2	2	no	—
83	#386	—	4	4	no	—
84	#382	C₂³	1	2	yes	—
85	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#331	—	4	4	no	—
87	#327	—	4	4	no	—
88	#322	—	2	1	no	—
89	#322	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
90	C₈²	—	2	1	no	—
91	C₈²	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
96	#135	—	4	2	no	—
97	#135	—	4	2	no	—
98	#135	—	4	2	no	—
99	#135	—	4	2	no	—
100	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
101	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
102	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×D₈	—	2	2	no	—
105	C₂×D₈	—	2	2	no	—
106	C₂×D₈	—	2	2	no	—
107	C₂×D₈	—	2	2	no	—
108	C₂×D₈	—	2	1	no	—
109	C₂×D₈	—	2	1	no	—
110	C₂×D₈	—	4	8	no	—
111	C₂×D₈	—	4	2	no	—
112	C₂×D₈	—	4	2	no	—
113	C₂×D₈	—	4	2	no	—
114	C₂×D₈	—	4	2	no	—
115	#131	—	4	4	no	—
116	#131	—	4	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	#127	—	2	2	no	—
126	#127	—	2	4	no	—
127	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	#124	—	2	2	no	—
130	#121	—	2	4	no	—
131	C₄×D₄	—	2	4	no	—
132	C₄×D₄	—	4	4	no	—
133	C₄×D₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	#108	—	4	2	no	—
141	#108	—	4	2	no	—
142	#107	—	4	2	no	—
143	#106	—	4	2	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
146	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
147	#104	—	4	4	no	—
148	#104	—	4	4	no	—
149	#102	—	4	8	no	—
150	#102	—	4	4	no	—
151	#102	—	4	4	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
155	#97	—	2	2	no	—
156	#97	—	2	2	no	—
157	#97	—	2	2	no	—
158	C₄×C₈	—	2	2	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	D₈	1	4	yes	complemented
161	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
165	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
166	#95	—	2	2	no	—
167	#95	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	#41	—	4	2	no	—
170	#41	—	4	2	no	—
171	#41	—	4	2	no	—
172	#41	—	4	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
174	C₂×D₄	—	2	2	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	8	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	16	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
192	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
194	Q₁₆	—	4	2	no	—
195	Q₁₆	—	4	2	no	—
196	SD₁₆	—	4	4	no	—
197	SD₁₆	—	4	4	no	—
198	D₈	—	4	4	no	—
199	D₈	—	4	4	no	—
200	D₈	—	4	2	no	—
201	D₈	—	4	4	no	—
202	D₈	—	4	4	no	—
203	D₈	—	4	2	no	—
204	D₈	—	16	8	no	—
205	M₁₆	—	4	2	no	—
206	M₁₆	—	4	2	no	—
207	M₁₆	—	8	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	8	4	no	—
217	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
225	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
232	C₄²	—	2	1	no	—
233	C₄²	—	2	1	no	—
234	C₄²	—	2	1	no	—
235	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
236	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	—	4	4	no	—
241	C₂³	—	8	4	no	—
242	C₂³	—	8	4	no	—
243	C₂³	—	8	2	no	—
244	C₂³	—	8	2	no	—
245	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
246	Q₈	—	4	2	no	—
247	Q₈	—	4	2	no	—
248	D₄	—	4	4	no	—
249	D₄	—	4	2	no	—
250	D₄	—	4	4	no	—
251	D₄	—	4	2	no	—
252	D₄	—	8	4	no	—
253	D₄	—	8	8	no	—
254	D₄	—	8	2	no	—
255	D₄	—	8	2	no	—
256	D₄	—	8	2	no	—
257	D₄	—	8	2	no	—
258	D₄	—	16	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	1	no	—
265	C₂×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂×C₄	—	8	4	no	—
268	C₂×C₄	—	8	2	no	—
269	C₂×C₄	—	16	8	no	—
270	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
278	C₈	—	2	2	no	—
279	C₈	—	4	4	no	—
280	C₈	—	4	1	no	—
281	C₈	—	8	2	no	—
282	C₈	—	8	2	no	—
283	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
284	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
285	C₈	#442	1	2	yes	—
286	C₈	#442	1	2	yes	—
287	C₂²	—	2	2	no	—
288	C₂²	—	8	8	no	—
289	C₂²	—	8	4	no	—
290	C₂²	—	8	2	no	—
291	C₂²	—	8	4	no	—
292	C₂²	—	16	2	no	—
293	C₂²	—	16	2	no	—
294	C₂²	—	16	4	no	—
295	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	#3205	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	#3207	1	1	yes	characteristic
298	C₄	—	2	2	no	—
299	C₄	—	2	2	no	—
300	C₄	—	4	2	no	—
301	C₄	—	8	1	no	—
302	C₄	—	8	2	no	—
303	C₄	—	16	2	no	—
304	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
305	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
306	C₄	#3205	1	1	yes	characteristic
307	C₄	#3207	1	1	yes	characteristic
308	C₂	—	2	1	no	—
309	C₂	—	2	1	no	—
310	C₂	—	16	2	no	—
311	C₂	—	16	4	no	—
312	C₂	#22269	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#22286	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2328
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#19661	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21707	C₂	semidirect
2. #21697	C₂	semidirect
4. #9773	C₂	semidirect
5. #9756	C₂	semidirect
6. #9299	C₂	semidirect
7. #9293	C₂	semidirect
8. #8793	C₂	semidirect
9. #8137	C₂	semidirect
28. #1721	C₄	semidirect
29. #1712	C₄	semidirect
30. #1709	C₄	semidirect
48. #494	C₂×C₄	semidirect
53. #493	C₂×C₄	semidirect
54. #493	C₂×C₄	semidirect
55. #492	C₂×C₄	semidirect
56. #486	C₂×C₄	semidirect
89. #322	C₂×C₄	semidirect
91. C₈²	C₂×C₄	semidirect
160. C₄×C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21707	2
#21697	2
#19661	2
#9773	2
#9756	2
#9299	2
#9293	2
#8793	2
#8137	2