Subgroups — #2196

Order 128.

177 conjugacy classes of subgroups.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	B(4,𝔽₂)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#453	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#353	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	AΣL(1,𝔽₁₆)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
7	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
8	AGL(1,ℤ/8)	—	2	1	no	—
9	#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#121	—	2	2	no	—
11	#120	—	2	1	no	—
12	#120	—	2	2	no	—
13	#120	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄×D₄	—	2	1	no	—
15	#104	—	2	1	no	—
16	#100	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	#99	—	2	2	no	—
18	#99	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂⁴	—	2	1	no	—
20	C₂⁴	D₄	1	2	yes	complemented
21	#41	—	2	1	no	—
22	#41	—	4	1	no	—
23	C₂×D₄	—	2	1	no	—
24	C₂×D₄	—	2	2	no	—
25	C₂×D₄	—	2	2	no	—
26	C₂×D₄	—	2	2	no	—
27	C₂×D₄	—	2	2	no	—
28	C₂×D₄	—	4	1	no	—
29	C₂×D₄	—	4	8	no	—
30	C₂×D₄	—	4	2	no	—
31	C₂×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
34	SD₁₆	—	4	1	no	—
35	D₈	—	4	1	no	—
36	M₁₆	—	2	1	no	—
37	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
38	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
39	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
40	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
42	C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	complemented
43	C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
44	C₂³	—	2	2	no	—
45	C₂³	—	2	2	no	—
46	C₂³	—	2	1	no	—
47	C₂³	—	4	2	no	—
48	C₂³	—	4	4	no	—
49	C₂³	—	4	4	no	—
50	C₂³	—	8	1	no	—
51	C₂³	C₂×D₄	1	2	yes	—
52	Q₈	—	2	1	no	—
53	D₄	—	2	4	no	—
54	D₄	—	2	1	no	—
55	D₄	—	4	1	no	—
56	D₄	—	4	1	no	—
57	D₄	—	4	4	no	—
58	D₄	—	4	4	no	—
59	D₄	—	4	4	no	—
60	D₄	—	4	2	no	—
61	D₄	—	4	1	no	—
62	D₄	—	8	4	no	—
63	C₂×C₄	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄	—	4	4	no	—
67	C₂×C₄	—	4	1	no	—
68	C₂×C₄	—	4	2	no	—
69	C₂×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₈	—	4	1	no	—
71	C₂²	—	2	4	no	—
72	C₂²	—	2	2	no	—
73	C₂²	—	4	2	no	—
74	C₂²	—	4	2	no	—
75	C₂²	—	4	2	no	—
76	C₂²	—	4	4	no	—
77	C₂²	—	4	2	no	—
78	C₂²	—	4	1	no	—
79	C₂²	—	4	1	no	—
80	C₂²	—	8	2	no	—
81	C₂²	—	8	4	no	—
82	C₂²	—	8	2	no	—
83	C₂²	#120	1	1	yes	characteristic
84	C₄	—	2	2	no	—
85	C₄	—	2	1	no	—
86	C₄	—	4	2	no	—
87	C₄	—	4	1	no	—
88	C₄	—	8	2	no	—
89	C₂	—	2	1	no	—
90	C₂	—	4	2	no	—
91	C₂	—	4	4	no	—
92	C₂	—	8	1	no	—
93	C₂	—	8	1	no	—
94	C₂	B(4,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	B(4,𝔽₂)
commutator, Frattini, cosocle	C₂×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂×D₄ ▷ C₂² ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂² ◁ C₂×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×D₄ ▷ C₂² ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. D₄²	C₂	semidirect
2. B(4,𝔽₂)	C₂	semidirect
3. #453	C₂	semidirect
4. #353	C₂	semidirect
5. AΣL(1,𝔽₁₆)	C₂	semidirect
6. H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
16. #100	C₂²	semidirect
18. #99	C₂²	semidirect
20. C₂⁴	D₄	semidirect
31. C₂×D₄	D₄	semidirect
42. C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
43. C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₄²	2
B(4,𝔽₂)	2
#453	2
#353	2
AΣL(1,𝔽₁₆)	2