Subgroups — #219704

Order 512.

589 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 299 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21695	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17878	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9672	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9105	C₂	1	2	yes	maximal
5	#9100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9091	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9090	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8781	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#492	C₄	1	1	yes	characteristic
11	#2982	C₂²	1	2	yes	—
12	#2975	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#440	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	#2328	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2327	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1973	C₄	1	2	yes	—
18	#1968	C₄	1	2	yes	—
19	#1961	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1960	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1846	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1588	—	2	4	no	—
24	#1583	—	2	4	no	—
25	#1564	C₂²	1	2	yes	—
26	#1479	C₂²	1	2	yes	—
27	#1479	C₂²	1	2	yes	—
28	#1478	C₂²	1	2	yes	—
29	#1478	C₂²	1	2	yes	—
30	#1461	C₂²	1	2	yes	—
31	#1460	C₂²	1	2	yes	—
32	#1452	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1452	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1281	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1281	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1275	C₂²	1	2	yes	—
37	#1274	C₂²	1	2	yes	—
38	#1274	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	#492	—	2	4	no	—
46	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
47	C₈×Q₈	—	4	2	no	—
48	#440	—	4	2	no	—
49	#440	—	4	2	no	—
50	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
51	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
52	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
53	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
54	#436	—	2	4	no	—
55	#436	—	4	2	no	—
56	#431	—	4	2	no	—
57	#431	C₂³	1	2	yes	—
58	#431	C₂³	1	2	yes	—
59	#431	C₂³	1	2	yes	—
60	#431	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#407	—	4	2	no	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#387	—	4	2	no	—
77	#386	—	4	2	no	—
78	#382	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	#382	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#335	—	2	2	no	—
82	#334	—	2	2	no	—
83	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
84	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
85	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
86	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
87	#324	—	4	2	no	—
88	#323	—	4	2	no	—
89	#322	—	2	2	no	—
90	#322	D₄	1	4	yes	complemented
91	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
93	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
101	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
108	C₄⋊Q₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
109	#127	—	2	2	no	—
110	#127	—	4	1	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₄×D₄	—	2	2	no	—
116	C₄×D₄	—	2	2	no	—
117	C₄×D₄	—	2	2	no	—
118	C₄×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	#107	—	4	2	no	—
130	#106	—	2	2	no	—
131	#106	—	2	2	no	—
132	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
137	#103	—	2	2	no	—
138	#103	—	2	2	no	—
139	#103	—	4	2	no	—
140	#102	—	2	2	no	—
141	#102	—	2	2	no	—
142	#102	—	4	2	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
148	#97	—	2	2	no	—
149	#97	—	2	2	no	—
150	#97	—	4	1	no	—
151	C₄×C₈	—	2	2	no	—
152	C₄×C₈	—	2	2	no	—
153	C₄×C₈	—	2	2	no	—
154	C₄×C₈	—	2	2	no	—
155	C₄×C₈	—	4	1	no	—
156	C₄×C₈	—	4	4	no	—
157	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
160	#95	—	2	2	no	—
161	#95	—	4	1	no	—
162	#95	—	4	1	no	—
163	#95	—	4	2	no	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	2	2	no	—
173	C₂×D₄	—	2	2	no	—
174	C₂×D₄	—	2	2	no	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	2	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	16	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
187	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
189	SD₁₆	—	4	4	no	—
190	SD₁₆	—	4	4	no	—
191	SD₁₆	—	4	8	no	—
192	M₁₆	—	16	4	no	—
193	C₂×C₈	—	2	1	no	—
194	C₂×C₈	—	2	1	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	2	1	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	4	2	no	—
204	C₂×C₈	—	4	2	no	—
205	C₂×C₈	—	4	2	no	—
206	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
219	C₄²	—	2	1	no	—
220	C₄²	—	2	1	no	—
221	C₄²	—	2	1	no	—
222	C₄²	—	4	2	no	—
223	C₄²	—	4	2	no	—
224	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
225	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
228	C₂³	—	4	2	no	—
229	C₂³	—	4	2	no	—
230	C₂³	—	4	2	no	—
231	C₂³	—	8	2	no	—
232	C₂³	—	8	2	no	—
233	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
234	Q₈	—	2	4	no	—
235	Q₈	—	2	4	no	—
236	Q₈	—	4	2	no	—
237	Q₈	—	4	2	no	—
238	D₄	—	4	2	no	—
239	D₄	—	4	2	no	—
240	D₄	—	4	2	no	—
241	D₄	—	4	2	no	—
242	D₄	—	16	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂×C₄	—	8	4	no	—
254	C₂×C₄	—	8	2	no	—
255	C₂×C₄	—	8	2	no	—
256	C₂×C₄	—	16	2	no	—
257	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
265	C₈	—	2	2	no	—
266	C₈	—	2	2	no	—
267	C₈	—	2	2	no	—
268	C₈	—	4	4	no	—
269	C₈	—	4	1	no	—
270	C₈	—	8	2	no	—
271	C₈	—	8	2	no	—
272	C₈	—	8	2	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	8	4	no	—
275	C₂²	—	8	2	no	—
276	C₂²	—	8	2	no	—
277	C₂²	—	8	2	no	—
278	C₂²	—	16	2	no	—
279	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	#2973	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#2981	1	1	yes	characteristic
282	C₄	—	2	2	no	—
283	C₄	—	2	2	no	—
284	C₄	—	4	2	no	—
285	C₄	—	4	4	no	—
286	C₄	—	8	1	no	—
287	C₄	—	8	2	no	—
288	C₄	—	8	2	no	—
289	C₄	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
290	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
291	C₄	#2974	1	1	yes	characteristic
292	C₄	#2980	1	1	yes	characteristic
293	C₂	—	2	1	no	—
294	C₂	—	2	1	no	—
295	C₂	—	16	2	no	—
296	C₂	#22266	1	1	yes	characteristic
297	C₂	#22284	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2328
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#127	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #17878	C₂	semidirect
3. #9672	C₂	semidirect
5. #9100	C₂	semidirect
6. #9091	C₂	semidirect
7. #9090	C₂	semidirect
8. #8781	C₂	semidirect
9. #8139	C₂	semidirect
90. #322	D₄	semidirect
108. C₄⋊Q₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21695	2
#17878	2
#9672	2
#9105	2
#9100	2
#9091	2
#9090	2
#8781	2
#8139	2