Subgroups — #219705

Order 512.

627 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 313 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21697	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17877	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9670	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9105	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9101	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9093	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9089	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8781	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#8139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#493	C₄	1	1	yes	characteristic
11	#2975	C₂²	1	2	yes	—
12	#2972	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#2328	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2328	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1972	C₄	1	2	yes	—
18	#1970	C₄	1	2	yes	—
19	#1961	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1961	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1846	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1586	—	2	4	no	—
24	#1581	—	2	4	no	—
25	#1564	C₂²	1	2	yes	—
26	#1478	C₂²	1	2	yes	—
27	#1478	C₂²	1	2	yes	—
28	#1478	C₂²	1	2	yes	—
29	#1478	C₂²	1	2	yes	—
30	#1460	C₂²	1	2	yes	—
31	#1460	C₂²	1	2	yes	—
32	#1452	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1452	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1281	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1281	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1275	C₂²	1	2	yes	—
37	#1274	C₂²	1	2	yes	—
38	#1274	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	#493	—	2	4	no	—
46	#442	—	4	2	no	—
47	#442	—	4	2	no	—
48	C₄×D₈	—	2	2	no	—
49	C₄×D₈	—	2	2	no	—
50	C₄×D₈	—	2	2	no	—
51	C₄×D₈	—	2	2	no	—
52	#436	—	2	4	no	—
53	#436	—	4	2	no	—
54	C₈×D₄	—	2	4	no	—
55	C₈×D₄	—	4	2	no	—
56	#431	C₂³	1	2	yes	—
57	#431	C₂³	1	2	yes	—
58	#431	C₂³	1	2	yes	—
59	#431	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#407	—	4	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#386	—	4	2	no	—
77	#386	—	4	2	no	—
78	#382	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	#382	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#335	—	2	2	no	—
82	#334	—	2	2	no	—
83	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
84	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
85	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
86	D₄⋊C₈	—	4	2	no	—
87	#323	—	4	2	no	—
88	#323	—	4	2	no	—
89	#322	—	2	2	no	—
90	#322	D₄	1	4	yes	complemented
91	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
92	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
93	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂×D₈	—	2	4	no	—
98	C₂×D₈	—	2	4	no	—
99	C₂×D₈	—	2	2	no	—
100	C₂×D₈	—	2	2	no	—
101	C₂×D₈	—	2	4	no	—
102	C₂×D₈	—	4	2	no	—
103	C₂×D₈	—	4	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	#127	—	2	2	no	—
111	#127	—	4	1	no	—
112	#127	—	4	1	no	—
113	#127	M₁₆	1	4	yes	complemented
114	C₄×D₄	—	2	2	no	—
115	C₄×D₄	—	2	2	no	—
116	C₄×D₄	—	2	2	no	—
117	C₄×D₄	—	2	2	no	—
118	C₄×D₄	—	2	2	no	—
119	C₄×D₄	—	2	2	no	—
120	C₄×D₄	—	2	2	no	—
121	C₄×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	#107	—	2	2	no	—
132	#107	—	2	2	no	—
133	#106	—	4	2	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
137	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
138	#102	—	2	2	no	—
139	#102	—	2	2	no	—
140	#102	—	2	2	no	—
141	#102	—	2	2	no	—
142	#102	—	4	2	no	—
143	#102	—	4	2	no	—
144	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
149	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
150	#97	—	2	2	no	—
151	#97	—	2	2	no	—
152	#97	—	4	1	no	—
153	C₄×C₈	—	2	2	no	—
154	C₄×C₈	—	2	2	no	—
155	C₄×C₈	—	2	2	no	—
156	C₄×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	—	4	1	no	—
158	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
161	#95	—	2	2	no	—
162	#95	—	4	1	no	—
163	#95	—	4	1	no	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	2	no	—
166	C₂×D₄	—	2	2	no	—
167	C₂×D₄	—	2	2	no	—
168	C₂×D₄	—	2	2	no	—
169	C₂×D₄	—	2	2	no	—
170	C₂×D₄	—	2	2	no	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	2	2	no	—
173	C₂×D₄	—	2	2	no	—
174	C₂×D₄	—	2	2	no	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	2	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	16	2	no	—
180	C₂×D₄	—	16	2	no	—
181	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
192	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
194	D₈	—	4	4	no	—
195	D₈	—	4	4	no	—
196	D₈	—	4	8	no	—
197	M₁₆	—	16	4	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	4	2	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	16	4	no	—
212	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
215	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
225	C₄²	—	2	1	no	—
226	C₄²	—	2	1	no	—
227	C₄²	—	2	1	no	—
228	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
229	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	4	2	no	—
234	C₂³	—	4	2	no	—
235	C₂³	—	4	2	no	—
236	C₂³	—	4	2	no	—
237	C₂³	—	4	2	no	—
238	C₂³	—	8	2	no	—
239	C₂³	—	8	2	no	—
240	C₂³	—	8	2	no	—
241	C₂³	—	8	2	no	—
242	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
243	D₄	—	2	4	no	—
244	D₄	—	2	4	no	—
245	D₄	—	4	2	no	—
246	D₄	—	4	2	no	—
247	D₄	—	4	2	no	—
248	D₄	—	4	2	no	—
249	D₄	—	4	2	no	—
250	D₄	—	4	2	no	—
251	D₄	—	16	4	no	—
252	D₄	—	16	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	8	4	no	—
261	C₂×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂×C₄	—	8	2	no	—
263	C₂×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂×C₄	—	16	2	no	—
265	C₂×C₄	—	16	2	no	—
266	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
274	C₈	—	2	2	no	—
275	C₈	—	2	2	no	—
276	C₈	—	2	2	no	—
277	C₈	—	4	4	no	—
278	C₈	—	4	1	no	—
279	C₈	—	8	2	no	—
280	C₈	—	8	2	no	—
281	C₈	—	8	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	4	4	no	—
284	C₂²	—	8	4	no	—
285	C₂²	—	8	4	no	—
286	C₂²	—	8	2	no	—
287	C₂²	—	8	2	no	—
288	C₂²	—	8	2	no	—
289	C₂²	—	8	2	no	—
290	C₂²	—	8	2	no	—
291	C₂²	—	16	2	no	—
292	C₂²	—	16	2	no	—
293	C₂²	#2328	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#2973	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	#2981	1	1	yes	characteristic
296	C₄	—	2	2	no	—
297	C₄	—	2	2	no	—
298	C₄	—	4	2	no	—
299	C₄	—	8	1	no	—
300	C₄	—	8	2	no	—
301	C₄	—	8	2	no	—
302	C₄	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
303	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
304	C₄	#2974	1	1	yes	characteristic
305	C₄	#2980	1	1	yes	characteristic
306	C₂	—	2	1	no	—
307	C₂	—	2	1	no	—
308	C₂	—	8	4	no	—
309	C₂	—	16	2	no	—
310	C₂	#22266	1	1	yes	characteristic
311	C₂	#22286	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2328
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #17877	C₂	semidirect
3. #9670	C₂	semidirect
4. #9105	C₂	semidirect
5. #9101	C₂	semidirect
6. #9093	C₂	semidirect
7. #9089	C₂	semidirect
8. #8781	C₂	semidirect
9. #8139	C₂	semidirect
90. #322	D₄	semidirect
113. #127	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21697	2
#17877	2
#9670	2
#9105	2
#9101	2
#9093	2
#9089	2
#8781	2
#8139	2