Subgroups — #21972

Order 256.

473 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 164 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1939	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1850	C₂	1	4	yes	maximal
6	#1842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1831	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#431	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
14	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	#376	C₄	1	2	yes	—
26	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
27	#336	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
32	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
33	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
36	#117	—	2	4	no	—
37	#117	C₈	1	8	yes	complemented
38	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
49	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
53	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
55	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
57	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₄×C₈	—	2	4	no	—
59	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
65	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₈	—	2	8	no	—
84	C₂×C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₈	—	4	8	no	—
86	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
88	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
90	C₄²	—	2	4	no	—
91	C₄²	—	2	4	no	—
92	C₄²	—	2	4	no	—
93	C₄²	—	4	4	no	—
94	C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
96	C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
97	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
101	C₂³	—	2	2	no	—
102	C₂³	—	2	2	no	—
103	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
104	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
105	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
106	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄	C₄⋊C₈	1	16	yes	complemented
120	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
126	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
127	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
129	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
130	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
133	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
134	C₈	—	4	2	no	—
135	C₈	—	4	4	no	—
136	C₈	—	4	2	no	—
137	C₂²	—	2	2	no	—
138	C₂²	—	2	2	no	—
139	C₂²	—	2	4	no	—
140	C₂²	—	2	4	no	—
141	C₂²	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
142	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²	#520	1	2	yes	—
144	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
146	C₂²	#568	1	2	yes	—
147	C₄	—	2	2	no	—
148	C₄	—	2	2	no	—
149	C₄	—	2	2	no	—
150	C₄	—	2	8	no	—
151	C₄	—	4	4	no	—
152	C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
153	C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	4	yes	—
154	C₄	#535	1	1	yes	characteristic
155	C₄	#536	1	1	yes	characteristic
156	C₄	#544	1	2	yes	—
157	C₂	—	2	4	no	—
158	C₂	#2317	1	1	yes	characteristic
159	C₂	C₂²×C₄⋊C₈	1	1	yes	characteristic
160	C₂	#2905	1	1	yes	characteristic
161	C₂	#2988	1	2	yes	—
162	C₂	#2989	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1939	C₂	semidirect
6. #1842	C₂	semidirect
7. #1831	C₂	semidirect
37. #117	C₈	semidirect
87. C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
96. C₄²	C₂×C₈	semidirect
119. C₂×C₄	C₄⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#431	2
C₂²×C₄⋊C₈	2
C₄×#117	2
#1939	2
#1850	2
#1842	2
#1831	2