Subgroups — #21998

Order 256.

445 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 283 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#1923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#1916	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1870	C₂	1	2	yes	maximal
5	#1851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1831	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#336	C₂²	1	2	yes	—
39	#336	C₂²	1	2	yes	—
40	#336	C₂²	1	2	yes	—
41	#336	C₂²	1	2	yes	—
42	#336	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
52	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
53	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₄×D₄	—	2	4	no	—
58	C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
70	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
71	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
85	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
86	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
87	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
88	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
89	C₄×C₈	—	4	2	no	—
90	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
117	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
119	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
120	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	M₁₆	—	4	8	no	—
135	C₂×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
150	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²⋊C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
156	C₄²	—	2	2	no	—
157	C₄²	—	2	2	no	—
158	C₄²	—	2	2	no	—
159	C₄²	—	2	2	no	—
160	C₄²	—	2	2	no	—
161	C₄²	—	2	2	no	—
162	C₄²	—	2	1	no	—
163	C₄²	—	2	2	no	—
164	C₄²	—	2	2	no	—
165	C₄²	—	2	1	no	—
166	C₄²	—	4	1	no	—
167	C₄²	—	4	1	no	—
168	C₄²	—	4	1	no	—
169	C₄²	—	4	1	no	—
170	C₂³	—	2	1	no	—
171	C₂³	—	2	1	no	—
172	C₂³	—	2	1	no	—
173	C₂³	—	2	1	no	—
174	C₂³	—	2	1	no	—
175	C₂³	—	2	1	no	—
176	C₂³	—	2	1	no	—
177	C₂³	—	2	1	no	—
178	C₂³	—	2	1	no	—
179	C₂³	—	2	1	no	—
180	C₂³	—	2	1	no	—
181	C₂³	—	2	1	no	—
182	C₂³	#117	1	2	yes	—
183	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
184	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
185	D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
225	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
226	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
227	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	#131	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₈	—	4	2	no	—
235	C₈	—	4	2	no	—
236	C₈	—	4	2	no	—
237	C₈	—	4	2	no	—
238	C₂²	—	2	2	no	—
239	C₂²	—	2	2	no	—
240	C₂²	—	2	2	no	—
241	C₂²	—	2	2	no	—
242	C₂²	—	2	2	no	—
243	C₂²	—	2	2	no	—
244	C₂²	—	4	1	no	—
245	C₂²	—	4	1	no	—
246	C₂²	—	4	1	no	—
247	C₂²	—	4	1	no	—
248	C₂²	—	4	1	no	—
249	C₂²	—	4	1	no	—
250	C₂²	—	4	1	no	—
251	C₂²	—	4	1	no	—
252	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
254	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
259	C₄	—	2	2	no	—
260	C₄	—	2	2	no	—
261	C₄	—	2	2	no	—
262	C₄	—	2	2	no	—
263	C₄	—	2	2	no	—
264	C₄	—	2	2	no	—
265	C₄	—	2	2	no	—
266	C₄	—	2	2	no	—
267	C₄	—	4	1	no	—
268	C₄	—	4	1	no	—
269	C₄	—	4	1	no	—
270	C₄	—	4	1	no	—
271	C₄	#538	1	2	yes	—
272	C₄	#539	1	2	yes	—
273	C₂	—	4	2	no	—
274	C₂	—	4	2	no	—
275	C₂	#2318	1	1	yes	characteristic
276	C₂	#2920	1	1	yes	characteristic
277	C₂	#2922	1	1	yes	characteristic
278	C₂	#2974	1	1	yes	characteristic
279	C₂	#2974	1	1	yes	characteristic
280	C₂	#2990	1	1	yes	characteristic
281	C₂	#2991	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #1923	C₂	semidirect
3. #1916	C₂	semidirect
5. #1851	C₂	semidirect
6. #1839	C₂	semidirect
7. #1831	C₂	semidirect
8. #1817	C₂	semidirect
9. #1797	C₂	semidirect
10. C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
11. #1728	C₂	semidirect
149. C₄⋊C₄	M₁₆	semidirect
155. C₂²⋊C₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄²×D₄	2
#1923	2
#1916	2
#1870	2
#1851	2
#1839	2
#1831	2
#1817	2
#1797	2
C₄×C₂²⋊C₈	2
#1728	2