Subgroups — #219990

Order 512.

1209 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 436 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21270	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9685	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9123	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8579	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8337	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#550	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#547	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
13	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2850	C₂²	1	2	yes	—
15	#2546	C₄	1	1	yes	characteristic
16	#2541	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#2464	—	2	4	no	—
18	#2432	C₄	1	2	yes	—
19	#2431	C₄	1	2	yes	—
20	#2428	—	2	2	no	—
21	#2361	—	2	2	no	—
22	C₄×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1954	—	2	2	no	—
25	#1939	—	2	2	no	—
26	#1924	—	2	4	no	—
27	#1767	C₂²	1	2	yes	—
28	#1749	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
30	#1536	—	2	8	no	—
31	C₂×#329	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#329	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#329	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#329	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#329	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1295	C₂²	1	2	yes	—
37	#1295	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	#550	—	4	4	no	—
41	#547	—	4	4	no	—
42	#532	—	2	4	no	—
43	#532	—	2	4	no	—
44	#532	—	4	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#127	—	2	1	no	—
48	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#123	—	2	2	no	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#121	—	2	1	no	—
56	C₂×#121	—	2	4	no	—
57	C₂×#121	—	2	2	no	—
58	C₂×#121	—	2	2	no	—
59	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
68	#432	—	2	8	no	—
69	#432	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	2	no	—
75	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	#398	—	2	2	no	—
80	#394	—	2	4	no	—
81	#392	—	2	4	no	—
82	#392	—	2	2	no	—
83	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	#390	—	2	2	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#389	—	2	2	no	—
90	#388	—	2	4	no	—
91	#388	—	2	2	no	—
92	#386	—	2	4	no	—
93	#386	—	2	4	no	—
94	#385	—	2	4	no	—
95	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
101	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	4	no	—
104	#329	—	2	4	no	—
105	#329	—	2	2	no	—
106	#329	—	2	8	no	—
107	#329	—	4	4	no	—
108	#329	D₄	1	4	yes	complemented
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	4	2	no	—
112	C₂×#41	—	4	2	no	—
113	C₂×#41	—	4	4	no	—
114	C₂×#41	—	4	4	no	—
115	C₂×#41	—	8	2	no	—
116	C₂×#41	—	8	2	no	—
117	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
139	#127	—	2	4	no	—
140	#127	—	4	2	no	—
141	#127	—	4	2	no	—
142	#127	—	4	4	no	—
143	#124	—	2	2	no	—
144	#124	—	2	2	no	—
145	#124	—	2	2	no	—
146	#124	—	2	4	no	—
147	#124	—	8	2	no	—
148	#124	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	#124	#41	1	2	yes	—
150	#123	—	4	8	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
152	#121	—	4	8	no	—
153	#121	—	4	8	no	—
154	#121	—	4	8	no	—
155	#121	—	4	8	no	—
156	#121	—	4	4	no	—
157	#121	—	4	4	no	—
158	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	4	no	—
160	C₄×D₄	—	4	8	no	—
161	C₄×D₄	—	4	8	no	—
162	C₄×D₄	—	4	4	no	—
163	C₄×D₄	—	4	2	no	—
164	C₄×D₄	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
197	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
200	#97	—	2	4	no	—
201	#97	—	2	2	no	—
202	#97	—	2	2	no	—
203	#97	—	2	2	no	—
204	#97	—	2	4	no	—
205	#97	—	4	4	no	—
206	#97	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₄×C₈	—	4	4	no	—
208	#95	—	2	2	no	—
209	#95	—	2	4	no	—
210	#95	—	2	2	no	—
211	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
212	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂⁴	—	2	1	no	—
214	C₂⁴	—	2	2	no	—
215	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
216	#41	—	8	8	no	—
217	#41	—	8	8	no	—
218	#41	—	8	8	no	—
219	#41	—	8	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	1	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	1	no	—
234	C₂×D₄	—	4	1	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	4	4	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	8	4	no	—
248	C₂×D₄	—	8	2	no	—
249	C₂×D₄	—	8	2	no	—
250	C₂×D₄	—	8	2	no	—
251	C₂×D₄	—	8	4	no	—
252	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
273	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	4	no	—
288	C₂×C₈	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	2	4	no	—
313	C₄²	—	2	4	no	—
314	C₄²	—	2	2	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	4	2	no	—
317	C₄²	—	4	1	no	—
318	C₄²	—	4	2	no	—
319	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	4	no	—
327	C₂³	—	2	4	no	—
328	C₂³	—	4	1	no	—
329	C₂³	—	4	1	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	4	no	—
337	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	Q₈	—	4	2	no	—
340	Q₈	—	8	2	no	—
341	Q₈	—	8	2	no	—
342	D₄	—	4	2	no	—
343	D₄	—	4	2	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	D₄	—	8	2	no	—
346	D₄	—	8	2	no	—
347	D₄	—	8	16	no	—
348	D₄	—	8	8	no	—
349	D₄	—	8	8	no	—
350	D₄	—	8	4	no	—
351	D₄	—	16	2	no	—
352	D₄	—	16	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	1	no	—
355	C₂×C₄	—	2	1	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	1	no	—
371	C₂×C₄	—	4	1	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	1	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	4	no	—
380	C₂×C₄	—	8	4	no	—
381	C₂×C₄	—	8	8	no	—
382	C₂×C₄	—	8	8	no	—
383	C₂×C₄	—	8	4	no	—
384	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
391	C₈	—	4	4	no	—
392	C₈	—	4	4	no	—
393	C₈	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	4	2	no	—
396	C₂²	—	4	2	no	—
397	C₂²	—	4	2	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	4	4	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	8	2	no	—
402	C₂²	—	8	1	no	—
403	C₂²	—	8	1	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	2	no	—
406	C₂²	—	8	2	no	—
407	C₂²	—	8	4	no	—
408	C₂²	—	8	2	no	—
409	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
413	C₂²	#2901	1	2	yes	—
414	C₄	—	2	1	no	—
415	C₄	—	2	1	no	—
416	C₄	—	2	4	no	—
417	C₄	—	2	2	no	—
418	C₄	—	2	2	no	—
419	C₄	—	4	2	no	—
420	C₄	—	4	1	no	—
421	C₄	—	4	2	no	—
422	C₄	—	4	4	no	—
423	C₄	—	8	1	no	—
424	C₄	—	8	2	no	—
425	C₄	—	8	1	no	—
426	C₄	#1536	1	4	yes	complemented
427	C₂	—	8	2	no	—
428	C₂	—	8	2	no	—
429	C₂	—	16	2	no	—
430	C₂	C₂×#1536	1	1	yes	characteristic
431	C₂	#17684	1	2	yes	—
432	C₂	#17688	1	1	yes	characteristic
433	C₂	D₄×#100	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#22435	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#36125	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21270	C₂	semidirect
3. C₂×#1536	C₂	semidirect
4. #9685	C₂	semidirect
5. #9123	C₂	semidirect
6. #8579	C₂	semidirect
7. #8337	C₂	semidirect
8. C₄×#329	C₂	semidirect
108. #329	D₄	semidirect
426. C₄	#1536	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36125	2
#21270	2
C₂×#1536	2
#9685	2
#9123	2
#8579	2
#8337	2
C₄×#329	2