Subgroups — #22008

Order 256.

447 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 198 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄²×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#1954	C₂	1	2	yes	maximal
3	#1939	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#1923	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1817	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1797	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
23	C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#336	C₂²	1	2	yes	—
28	#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#336	C₂²	1	4	yes	—
30	#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
38	C₄×D₄	—	2	4	no	—
39	C₄×D₄	—	2	4	no	—
40	C₄×D₄	C₈	1	8	yes	complemented
41	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
48	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
60	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
61	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
62	C₄×C₈	—	2	4	no	—
63	C₄×C₈	—	4	2	no	—
64	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂×D₄	—	2	2	no	—
70	C₂×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
77	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
78	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
79	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
80	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈	—	2	2	no	—
100	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
103	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
106	C₄²	—	2	1	no	—
107	C₄²	—	2	4	no	—
108	C₄²	—	2	2	no	—
109	C₄²	—	2	1	no	—
110	C₄²	—	4	2	no	—
111	C₄²	—	4	2	no	—
112	C₄²	—	4	1	no	—
113	C₄²	—	4	1	no	—
114	C₄²	C₂×C₈	1	4	yes	—
115	C₄²	M₁₆	1	4	yes	—
116	C₄²	#41	1	4	yes	—
117	C₂³	—	2	2	no	—
118	C₂³	—	2	2	no	—
119	C₂³	—	2	2	no	—
120	C₂³	—	2	2	no	—
121	C₂³	—	2	2	no	—
122	C₂³	—	2	2	no	—
123	C₂³	C₂²×C₈	1	4	yes	—
124	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
125	D₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
149	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
150	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
151	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
153	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
154	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
155	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
156	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
157	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
158	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
160	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₈	—	4	2	no	—
162	C₈	—	4	4	no	—
163	C₈	—	4	2	no	—
164	C₂²	—	2	4	no	—
165	C₂²	—	2	4	no	—
166	C₂²	—	2	4	no	—
167	C₂²	—	4	2	no	—
168	C₂²	—	4	2	no	—
169	C₂²	—	4	2	no	—
170	C₂²	—	4	2	no	—
171	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
172	C₂²	#518	1	1	yes	characteristic
173	C₂²	#520	1	1	yes	characteristic
174	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
176	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
177	C₂²	#568	1	1	yes	characteristic
178	C₄	—	2	2	no	—
179	C₄	—	2	2	no	—
180	C₄	—	2	4	no	—
181	C₄	—	2	2	no	—
182	C₄	—	2	2	no	—
183	C₄	—	2	2	no	—
184	C₄	—	4	2	no	—
185	C₄	—	4	2	no	—
186	C₄	#431	1	4	yes	—
187	C₄	#540	1	2	yes	—
188	C₄	#542	1	2	yes	—
189	C₂	—	4	4	no	—
190	C₂	#2319	1	1	yes	characteristic
191	C₂	C₂×#431	1	1	yes	characteristic
192	C₂	#2923	1	1	yes	characteristic
193	C₂	#2972	1	1	yes	characteristic
194	C₂	#2975	1	1	yes	characteristic
195	C₂	#2988	1	1	yes	characteristic
196	C₂	#2989	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₈
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #1939	C₂	semidirect
4. #1923	C₂	semidirect
5. #1817	C₂	semidirect
6. #1797	C₂	semidirect
7. C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
8. #1744	C₂	semidirect
40. C₄×D₄	C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄²×D₄	2
#1954	2
#1939	2
#1923	2
#1817	2
#1797	2
C₄×C₄⋊C₈	2
#1744	2