Subgroups — #220092

Order 512.

1809 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22799	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1555	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9695	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9142	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×D₄²	—	2	2	no	—
10	C₂×D₄²	C₄	1	2	yes	—
11	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	complemented
13	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2856	C₂²	1	2	yes	—
15	#2541	—	2	2	no	—
16	#2541	C₄	1	2	yes	—
17	#2433	—	2	4	no	—
18	#2433	C₄	1	4	yes	—
19	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1954	—	2	2	no	—
22	#1924	—	2	4	no	—
23	#1842	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#1797	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#1770	—	2	2	no	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#1555	—	2	8	no	—
28	C₂×#331	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#331	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#1296	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1296	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
37	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	D₄²	—	4	8	no	—
39	D₄²	—	4	8	no	—
40	D₄²	—	4	8	no	—
41	C₂×#127	—	2	4	no	—
42	C₂×#127	—	2	4	no	—
43	C₂×#127	—	2	2	no	—
44	C₂×#127	—	2	4	no	—
45	C₂×#127	—	2	2	no	—
46	C₂×#127	—	4	4	no	—
47	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#121	—	2	4	no	—
53	C₂×#121	—	2	4	no	—
54	C₂×#121	—	2	2	no	—
55	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×#120	—	2	4	no	—
57	C₂×#120	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	#432	—	2	8	no	—
64	#432	—	4	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×#97	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
74	#392	—	2	4	no	—
75	#392	—	2	8	no	—
76	#390	—	2	2	no	—
77	#390	—	2	4	no	—
78	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
85	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#336	—	2	4	no	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	#331	—	2	4	no	—
89	#331	—	2	2	no	—
90	#331	—	2	8	no	—
91	#331	—	4	4	no	—
92	#331	D₄	1	4	yes	complemented
93	C₂⁵	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	#127	—	2	8	no	—
124	#127	—	2	2	no	—
125	#127	—	2	2	no	—
126	#127	—	2	2	no	—
127	#127	—	2	4	no	—
128	#127	—	4	4	no	—
129	#127	—	4	8	no	—
130	#127	—	4	8	no	—
131	#127	—	4	4	no	—
132	#127	—	4	4	no	—
133	#127	—	4	4	no	—
134	#127	—	8	2	no	—
135	#127	—	8	2	no	—
136	#127	—	8	2	no	—
137	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	#127	#41	1	2	yes	—
139	#121	—	4	8	no	—
140	#121	—	4	16	no	—
141	#121	—	4	8	no	—
142	#121	—	4	8	no	—
143	#121	—	4	8	no	—
144	#120	—	4	16	no	—
145	#120	—	4	32	no	—
146	C₄×D₄	—	2	4	no	—
147	C₄×D₄	—	2	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	4	4	no	—
150	C₄×D₄	—	4	4	no	—
151	C₄×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
178	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
179	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
180	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
182	#97	—	4	8	no	—
183	C₄×C₈	—	4	4	no	—
184	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	—	4	8	no	—
189	C₂⁴	—	4	16	no	—
190	C₂⁴	—	4	8	no	—
191	C₂⁴	—	8	8	no	—
192	C₂⁴	—	8	4	no	—
193	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	16	no	—
203	C₂×D₄	—	4	8	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	8	no	—
207	C₂×D₄	—	4	16	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	16	no	—
210	C₂×D₄	—	4	8	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	8	4	no	—
225	C₂×D₄	—	8	8	no	—
226	C₂×D₄	—	8	4	no	—
227	C₂×D₄	—	8	4	no	—
228	C₂×D₄	—	8	4	no	—
229	C₂×D₄	—	8	16	no	—
230	C₂×D₄	—	8	16	no	—
231	C₂×D₄	—	8	16	no	—
232	C₂×D₄	—	8	16	no	—
233	C₂×D₄	—	8	16	no	—
234	C₂×D₄	—	8	16	no	—
235	C₂×D₄	—	8	32	no	—
236	C₂×D₄	#100	1	4	yes	—
237	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	4	1	no	—
286	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
287	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
288	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	4	4	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	4	8	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	—	8	16	no	—
306	C₂³	—	8	16	no	—
307	C₂³	—	8	32	no	—
308	C₂³	—	16	8	no	—
309	C₂³	—	16	16	no	—
310	C₂³	C₂×#100	1	4	yes	—
311	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	D₄	—	2	8	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	4	4	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	4	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	8	4	no	—
321	D₄	—	8	16	no	—
322	D₄	—	8	32	no	—
323	D₄	—	8	16	no	—
324	D₄	—	8	8	no	—
325	D₄	—	8	4	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	4	no	—
328	D₄	—	8	4	no	—
329	D₄	—	16	8	no	—
330	D₄	—	16	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	8	no	—
352	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
363	C₈	—	4	4	no	—
364	C₈	—	8	4	no	—
365	C₈	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	2	4	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	4	8	no	—
373	C₂²	—	8	2	no	—
374	C₂²	—	8	4	no	—
375	C₂²	—	8	2	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	8	8	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	8	no	—
381	C₂²	—	16	32	no	—
382	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
386	C₂²	#2897	1	2	yes	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	2	1	no	—
389	C₄	—	2	1	no	—
390	C₄	—	4	1	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	—	4	4	no	—
393	C₄	—	8	2	no	—
394	C₄	#1555	1	4	yes	complemented
395	C₄	#3272	1	2	yes	—
396	C₄	#3274	1	2	yes	—
397	C₄	#3324	1	2	yes	—
398	C₄	#3325	1	2	yes	—
399	C₂	—	4	4	no	—
400	C₂	—	8	4	no	—
401	C₂	—	16	4	no	—
402	C₂	C₂×#1555	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#17758	1	2	yes	—
404	C₂	#17770	1	1	yes	characteristic
405	C₂	D₄×#100	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#22428	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	D₄×#127	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22799	C₂	semidirect
3. C₂×#1555	C₂	semidirect
4. #9695	C₂	semidirect
5. #9142	C₂	semidirect
6. #8585	C₂	semidirect
7. #8339	C₂	semidirect
8. C₄×#331	C₂	semidirect
12. C₂×#432	C₂²	semidirect
23. #1842	C₂²	semidirect
24. #1797	C₂²	semidirect
26. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
31. C₂×#331	C₂²	semidirect
32. C₂×#331	C₂²	semidirect
33. #1296	C₂²	semidirect
34. #1296	C₂²	semidirect
92. #331	D₄	semidirect
179. C₄⋊C₈	C₂×D₄	semidirect
394. C₄	#1555	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₄×#127	2
#22799	2
C₂×#1555	2
#9695	2
#9142	2
#8585	2
#8339	2
C₄×#331	2