Subgroups — #220105

Order 512.

1145 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 333 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22799	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1558	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9691	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9136	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8587	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×D₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#432	C₂²	1	4	yes	—
12	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2857	C₂²	1	2	yes	—
14	#2551	—	2	2	no	—
15	#2546	C₄	1	2	yes	—
16	#2440	—	2	4	no	—
17	#2434	C₄	1	4	yes	—
18	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
19	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1954	—	2	2	no	—
22	#1924	—	2	4	no	—
23	#1842	C₂²	1	2	yes	—
24	#1797	C₂²	1	4	yes	—
25	#1770	—	2	2	no	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#1558	—	2	8	no	—
28	C₂×#333	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#333	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1296	C₂²	1	2	yes	—
34	#1296	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	D₄×Q₈	—	4	8	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	#432	—	2	8	no	—
56	#432	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×#97	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	#398	—	2	4	no	—
67	#395	—	2	8	no	—
68	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#389	—	2	4	no	—
71	#389	—	2	2	no	—
72	#389	—	2	4	no	—
73	#385	—	2	8	no	—
74	#384	—	2	2	no	—
75	#384	—	2	2	no	—
76	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#380	—	2	4	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
83	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#336	—	2	4	no	—
85	#336	—	2	2	no	—
86	#333	—	2	4	no	—
87	#333	—	2	2	no	—
88	#333	—	2	8	no	—
89	#333	—	4	4	no	—
90	#333	D₄	1	4	yes	complemented
91	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
93	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
94	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
95	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
96	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
116	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₄⋊Q₈	#41	1	2	yes	—
118	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
120	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	4	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
160	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
163	#97	—	4	8	no	—
164	C₄×C₈	—	4	4	no	—
165	#95	—	2	4	no	—
166	#95	—	2	8	no	—
167	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
174	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
181	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
182	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	#100	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	4	2	no	—
210	C₂×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	4	2	no	—
213	C₂×C₈	—	4	2	no	—
214	C₂×C₈	—	4	4	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	2	no	—
241	C₄²	—	2	2	no	—
242	C₄²	—	4	1	no	—
243	C₄²	—	4	4	no	—
244	C₄²	#137	1	4	yes	—
245	C₄²	#137	1	4	yes	—
246	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	C₂×#100	1	4	yes	—
254	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	Q₈	—	4	4	no	—
256	Q₈	—	4	4	no	—
257	Q₈	—	8	4	no	—
258	Q₈	—	8	4	no	—
259	Q₈	—	8	16	no	—
260	D₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	16	no	—
288	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
299	C₈	—	4	4	no	—
300	C₈	—	8	2	no	—
301	C₈	—	8	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	—	4	4	no	—
307	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×#419	1	2	yes	—
311	C₂²	#2898	1	2	yes	—
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	2	1	no	—
314	C₄	—	2	1	no	—
315	C₄	—	4	1	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	4	4	no	—
318	C₄	—	4	4	no	—
319	C₄	—	8	2	no	—
320	C₄	—	8	4	no	—
321	C₄	#1558	1	4	yes	complemented
322	C₄	#3276	1	2	yes	—
323	C₄	#3278	1	2	yes	—
324	C₄	#3328	1	2	yes	—
325	C₄	#3329	1	2	yes	—
326	C₂	—	4	4	no	—
327	C₂	C₂×#1558	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#17760	1	2	yes	—
329	C₂	#17779	1	1	yes	characteristic
330	C₂	D₄×#100	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#22430	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1558	C₂	semidirect
4. #9691	C₂	semidirect
5. #9136	C₂	semidirect
6. #8587	C₂	semidirect
7. #8342	C₂	semidirect
8. C₄×#333	C₂	semidirect
90. #333	D₄	semidirect
321. C₄	#1558	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₄×C₄⋊Q₈	2
#22799	2
C₂×#1558	2
#9691	2
#9136	2
#8587	2
#8342	2
C₄×#333	2