Subgroups — #220113

Order 512.

1259 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22650	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1560	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9691	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9135	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8344	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#547	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#436	—	2	2	no	—
12	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
13	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2857	C₂²	1	2	yes	—
15	#2547	C₄	1	2	yes	—
16	#2537	—	2	2	no	—
17	#2432	C₄	1	4	yes	—
18	#2422	—	2	4	no	—
19	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
20	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1939	—	2	2	no	—
23	#1851	—	2	4	no	—
24	#1842	C₂²	1	2	yes	—
25	#1797	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#1560	—	2	8	no	—
28	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#333	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#331	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#331	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1296	C₂²	1	2	yes	—
34	#1296	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	#547	—	4	8	no	—
38	#532	—	2	4	no	—
39	#532	—	2	4	no	—
40	#532	—	4	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#123	—	2	4	no	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂×#121	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	#436	—	4	8	no	—
58	#423	—	2	8	no	—
59	#423	—	4	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	#397	—	2	4	no	—
69	#394	—	2	8	no	—
70	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#390	—	2	2	no	—
72	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#389	—	2	4	no	—
74	#385	—	2	8	no	—
75	#384	—	2	2	no	—
76	#384	—	2	2	no	—
77	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#380	—	2	4	no	—
79	#380	—	2	4	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
84	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#336	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#333	—	2	8	no	—
88	#333	—	4	4	no	—
89	#331	—	2	4	no	—
90	#331	—	2	2	no	—
91	#331	D₄	1	4	yes	complemented
92	C₂×#41	—	2	8	no	—
93	C₂×#41	—	4	4	no	—
94	C₂×#41	—	4	8	no	—
95	C₂×#41	—	8	4	no	—
96	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
107	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	8	2	no	—
116	#127	—	2	2	no	—
117	#127	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	#127	#41	1	2	yes	—
119	#124	—	2	8	no	—
120	#124	—	4	4	no	—
121	#123	—	4	16	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
123	#121	—	4	8	no	—
124	#121	—	4	8	no	—
125	#121	—	4	8	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	C₄×D₄	—	2	4	no	—
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	4	8	no	—
130	C₄×D₄	—	4	8	no	—
131	C₄×D₄	—	4	4	no	—
132	C₄×D₄	—	4	4	no	—
133	C₄×D₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
166	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
168	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
170	C₄×C₈	—	4	4	no	—
171	#95	—	2	8	no	—
172	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
173	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂⁴	—	2	2	no	—
175	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	#41	—	8	16	no	—
177	#41	—	8	16	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	8	4	no	—
196	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	M₁₆	—	8	16	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
241	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	4	1	no	—
256	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
257	C₄²	#137	1	4	yes	—
258	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	Q₈	—	8	4	no	—
273	Q₈	—	8	4	no	—
274	D₄	—	4	4	no	—
275	D₄	—	4	4	no	—
276	D₄	—	4	4	no	—
277	D₄	—	4	4	no	—
278	D₄	—	4	4	no	—
279	D₄	—	4	4	no	—
280	D₄	—	4	4	no	—
281	D₄	—	8	16	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	16	no	—
305	C₂×C₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
318	C₈	—	4	4	no	—
319	C₈	—	8	2	no	—
320	C₈	—	8	4	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	8	no	—
328	C₂²	—	8	2	no	—
329	C₂²	—	8	4	no	—
330	C₂²	—	8	2	no	—
331	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
335	C₂²	#2898	1	2	yes	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	1	no	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	4	1	no	—
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	—	8	2	no	—
343	C₄	—	8	4	no	—
344	C₄	#1560	1	4	yes	complemented
345	C₄	#3272	1	2	yes	—
346	C₄	#3276	1	2	yes	—
347	C₄	#3330	1	2	yes	—
348	C₄	#3331	1	2	yes	—
349	C₂	—	8	2	no	—
350	C₂	—	8	4	no	—
351	C₂	C₂×#1560	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#17764	1	2	yes	—
353	C₂	#17773	1	1	yes	characteristic
354	C₂	D₄×#100	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#22431	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#36127	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22650	C₂	semidirect
3. C₂×#1560	C₂	semidirect
4. #9691	C₂	semidirect
5. #9135	C₂	semidirect
6. #8585	C₂	semidirect
7. #8344	C₂	semidirect
8. C₄×#331	C₂	semidirect
91. #331	D₄	semidirect
344. C₄	#1560	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36127	2
#22650	2
C₂×#1560	2
#9691	2
#9135	2
#8585	2
#8344	2
C₄×#331	2