Subgroups — #220115

Order 512.

1339 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36128	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22650	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1560	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9695	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9141	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8587	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8344	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#550	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#436	—	2	2	no	—
12	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
13	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2856	C₂²	1	2	yes	—
15	#2548	C₄	1	2	yes	—
16	#2541	—	2	2	no	—
17	#2431	C₄	1	4	yes	—
18	#2428	—	2	4	no	—
19	#2366	—	2	2	no	—
20	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1939	—	2	2	no	—
23	#1851	—	2	4	no	—
24	#1842	C₂²	1	2	yes	—
25	#1797	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#1560	—	2	8	no	—
28	C₂×#333	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#333	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#333	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
33	#1296	C₂²	1	2	yes	—
34	#1296	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	#550	—	4	8	no	—
38	#532	—	2	4	no	—
39	#532	—	2	4	no	—
40	#532	—	4	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#127	—	2	2	no	—
43	C₂×#127	—	2	2	no	—
44	C₂×#127	—	2	2	no	—
45	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#121	—	2	4	no	—
50	C₂×#121	—	2	4	no	—
51	C₂×#121	—	2	4	no	—
52	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	#436	—	4	8	no	—
60	#423	—	2	8	no	—
61	#423	—	4	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	#394	—	2	4	no	—
71	#392	—	2	8	no	—
72	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#390	—	2	4	no	—
74	#390	—	2	4	no	—
75	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#389	—	2	2	no	—
77	#386	—	2	8	no	—
78	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
84	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#336	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	#333	—	2	4	no	—
88	#333	—	2	2	no	—
89	#333	D₄	1	4	yes	complemented
90	#331	—	2	8	no	—
91	#331	—	4	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	8	no	—
93	C₂×#41	—	4	4	no	—
94	C₂×#41	—	4	8	no	—
95	C₂×#41	—	8	4	no	—
96	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
115	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₄⋊Q₈	#41	1	2	yes	—
117	#127	—	2	2	no	—
118	#127	—	2	2	no	—
119	#127	—	2	4	no	—
120	#127	—	4	4	no	—
121	#127	—	4	8	no	—
122	#127	—	4	4	no	—
123	#127	—	4	4	no	—
124	#127	—	8	2	no	—
125	#127	—	8	2	no	—
126	#127	—	8	2	no	—
127	#124	—	2	8	no	—
128	#124	—	4	4	no	—
129	#121	—	4	16	no	—
130	#121	—	4	8	no	—
131	#121	—	4	8	no	—
132	#121	—	4	8	no	—
133	#121	—	8	4	no	—
134	#121	—	8	4	no	—
135	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
136	C₄×D₄	—	2	4	no	—
137	C₄×D₄	—	2	4	no	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	4	8	no	—
140	C₄×D₄	—	4	8	no	—
141	C₄×D₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
172	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
174	C₄×C₈	—	4	4	no	—
175	#95	—	2	4	no	—
176	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
177	#95	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	#41	—	8	16	no	—
181	#41	—	8	16	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	8	no	—
204	C₂×D₄	—	4	8	no	—
205	C₂×D₄	—	8	4	no	—
206	C₂×D₄	—	8	4	no	—
207	C₂×D₄	—	8	4	no	—
208	C₂×D₄	—	8	4	no	—
209	C₂×D₄	—	8	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	M₁₆	—	8	16	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	4	1	no	—
263	C₄²	—	4	4	no	—
264	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
265	C₄²	#137	1	4	yes	—
266	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	4	4	no	—
281	Q₈	—	4	4	no	—
282	D₄	—	4	4	no	—
283	D₄	—	8	4	no	—
284	D₄	—	8	4	no	—
285	D₄	—	8	16	no	—
286	D₄	—	8	4	no	—
287	D₄	—	8	4	no	—
288	D₄	—	8	8	no	—
289	D₄	—	8	4	no	—
290	D₄	—	8	4	no	—
291	D₄	—	16	8	no	—
292	D₄	—	16	4	no	—
293	D₄	—	16	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	16	no	—
317	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#417	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
329	C₈	—	4	4	no	—
330	C₈	—	8	2	no	—
331	C₈	—	8	4	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	8	4	no	—
338	C₂²	—	8	8	no	—
339	C₂²	—	8	4	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	8	no	—
342	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2888	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
346	C₂²	#2897	1	2	yes	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	4	1	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	4	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	#1560	1	4	yes	complemented
356	C₄	#3274	1	2	yes	—
357	C₄	#3278	1	2	yes	—
358	C₄	#3332	1	2	yes	—
359	C₄	#3333	1	2	yes	—
360	C₂	—	8	2	no	—
361	C₂	—	16	4	no	—
362	C₂	C₂×#1560	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#17762	1	2	yes	—
364	C₂	#17782	1	1	yes	characteristic
365	C₂	D₄×#100	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#22432	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#36128	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22650	C₂	semidirect
3. C₂×#1560	C₂	semidirect
4. #9695	C₂	semidirect
5. #9141	C₂	semidirect
6. #8587	C₂	semidirect
7. #8344	C₂	semidirect
8. C₄×#333	C₂	semidirect
89. #333	D₄	semidirect
355. C₄	#1560	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36128	2
#22650	2
C₂×#1560	2
#9695	2
#9141	2
#8587	2
#8344	2
C₄×#333	2