Subgroups — #220120

Order 512.

1150 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1579	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9658	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8946	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8595	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#8311	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
13	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#107	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#103	C₄	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1984	—	2	4	no	—
23	#1984	C₂²	1	4	yes	—
24	#1797	—	2	2	no	—
25	#1797	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1579	—	2	8	no	—
30	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
34	#1277	C₂²	1	2	yes	—
35	#1273	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×Q₁₆	C₈	1	8	yes	complemented
40	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
58	C₈×Q₈	—	4	4	no	—
59	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
60	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
61	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
62	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
63	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
64	C₄×Q₁₆	D₄	1	8	yes	—
65	C₂×#107	—	2	4	no	—
66	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#103	—	2	8	no	—
72	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#336	—	2	4	no	—
88	#336	—	2	4	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	1	no	—
91	#336	D₄	1	2	yes	—
92	#334	—	2	4	no	—
93	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
94	Q₈⋊C₈	—	4	4	no	—
95	#322	—	2	4	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	8	yes	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	8	yes	—
117	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
118	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
119	C₂×Q₁₆	M₁₆	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
127	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
139	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
141	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
142	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	#107	—	2	2	no	—
165	#107	—	2	4	no	—
166	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
167	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
170	#103	—	2	4	no	—
171	#103	—	2	4	no	—
172	#103	—	2	4	no	—
173	#103	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	—	4	8	no	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
202	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
204	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
205	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	Q₁₆	—	2	16	no	—
235	Q₁₆	—	2	8	no	—
236	Q₁₆	C₂²⋊C₈	1	16	yes	complemented
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
269	C₄²	—	2	1	no	—
270	C₄²	—	2	1	no	—
271	C₄²	—	2	8	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	4	4	no	—
275	C₄²	—	4	4	no	—
276	C₄²	—	4	4	no	—
277	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
284	C₂³	#441	1	2	yes	—
285	C₂³	#444	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	4	no	—
288	Q₈	—	2	4	no	—
289	Q₈	—	2	4	no	—
290	Q₈	—	2	4	no	—
291	Q₈	—	2	4	no	—
292	Q₈	—	4	16	no	—
293	Q₈	—	4	2	no	—
294	Q₈	—	4	2	no	—
295	Q₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	16	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	8	no	—
325	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#441	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
337	C₈	—	2	2	no	—
338	C₈	—	2	2	no	—
339	C₈	—	4	1	no	—
340	C₈	—	4	4	no	—
341	C₈	—	8	2	no	—
342	C₈	—	8	4	no	—
343	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	#1579	1	4	yes	complemented
351	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#441	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2950	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	8	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	4	1	no	—
364	C₄	—	4	4	no	—
365	C₄	—	8	2	no	—
366	C₄	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#2972	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2974	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#3270	1	4	yes	—
371	C₂	—	2	4	no	—
372	C₂	C₂×#1579	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#17856	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#18042	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#18062	1	1	yes	characteristic
376	C₂	D₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#22440	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#22452	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1579	C₂	semidirect
4. #9658	C₂	semidirect
5. #8946	C₂	semidirect
39. C₂²×Q₁₆	C₈	semidirect
236. Q₁₆	C₂²⋊C₈	semidirect
350. C₂²	#1579	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₁₆	2
Q₈×C₂²⋊C₈	2
C₂×#1579	2
#9658	2
#8946	2
#8595	2
#8311	2
#8144	2