Subgroups — #220121

Order 512.

1186 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22530	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1579	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9659	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8948	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8595	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8312	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8144	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
12	C₄×#135	—	2	8	no	—
13	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×SD₁₆	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#427	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#416	C₄	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1954	—	2	4	no	—
23	#1954	C₂²	1	4	yes	—
24	#1797	—	2	2	no	—
25	#1797	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1579	—	2	8	no	—
30	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
34	#1277	C₂²	1	2	yes	—
35	#1273	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×#135	—	2	4	no	—
38	C₂×#135	—	2	4	no	—
39	C₂×#135	C₈	1	8	yes	complemented
40	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₄×#41	—	2	8	no	—
46	C₄×#41	—	4	4	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
58	C₈×Q₈	—	4	4	no	—
59	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
60	C₄×Q₁₆	D₄	1	8	yes	—
61	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
62	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
63	C₄×D₈	—	2	4	no	—
64	C₄×D₈	—	2	4	no	—
65	#427	—	2	4	no	—
66	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
71	#416	—	2	8	no	—
72	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	1	no	—
91	#336	D₄	1	2	yes	—
92	#334	—	2	4	no	—
93	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
94	D₄⋊C₈	—	4	4	no	—
95	#322	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	4	2	no	—
100	C₂×#41	—	4	2	no	—
101	C₂×#41	C₂×C₈	1	8	yes	—
102	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
111	#135	—	2	32	no	—
112	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
113	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	—
114	C₂×Q₁₆	M₁₆	1	4	yes	—
115	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	8	yes	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
128	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
137	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	4	2	no	—
142	C₄×D₄	—	4	8	no	—
143	C₄×D₄	—	4	8	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	4	8	no	—
146	#117	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	#107	—	2	2	no	—
165	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
166	#106	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
170	#103	—	2	4	no	—
171	#103	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
172	#102	—	2	4	no	—
173	#102	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	—	2	2	no	—
185	C₄×C₈	—	2	2	no	—
186	C₄×C₈	—	4	8	no	—
187	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂⁴	—	2	2	no	—
189	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
190	#41	—	2	16	no	—
191	#41	—	4	8	no	—
192	#41	—	4	8	no	—
193	#41	—	4	8	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	4	yes	—
199	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
200	C₂×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
240	Q₁₆	C₂²⋊C₈	1	16	yes	complemented
241	SD₁₆	—	2	16	no	—
242	D₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	1	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	2	1	no	—
277	C₄²	—	2	8	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	4	4	no	—
281	C₄²	—	4	4	no	—
282	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	2	4	no	—
300	Q₈	—	2	4	no	—
301	Q₈	—	2	4	no	—
302	Q₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
303	D₄	—	2	4	no	—
304	D₄	—	2	4	no	—
305	D₄	—	4	16	no	—
306	D₄	—	4	2	no	—
307	D₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	16	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	8	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#444	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	4	1	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	—	8	2	no	—
353	C₈	—	8	4	no	—
354	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	4	1	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	4	1	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	8	2	no	—
369	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2943	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2952	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	8	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	4	1	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#2972	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2974	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#3271	1	4	yes	—
388	C₂	—	4	2	no	—
389	C₂	—	8	4	no	—
390	C₂	#17849	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#17858	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#18043	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#18063	1	1	yes	characteristic
394	C₂	D₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#22441	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#22452	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22530	C₂	semidirect
3. C₂×#1579	C₂	semidirect
4. #9659	C₂	semidirect
5. #8948	C₂	semidirect
6. #8595	C₂	semidirect
7. #8312	C₂	semidirect
8. #8144	C₂	semidirect
39. C₂×#135	C₈	semidirect
240. Q₁₆	C₂²⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#135	2
#22530	2
C₂×#1579	2
#9659	2
#8948	2
#8595	2
#8312	2
#8144	2