Subgroups — #220146

Order 512.

1110 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22510	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1591	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9656	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8950	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#8311	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₈×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#446	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
13	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#107	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#103	C₄	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1985	—	2	4	no	—
23	#1984	C₂²	1	4	yes	—
24	#1797	—	2	2	no	—
25	#1797	C₂²	1	2	yes	—
26	#1749	—	2	2	no	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1591	—	2	8	no	—
30	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×C₈²	C₂²	1	2	yes	—
34	#1277	C₂²	1	2	yes	—
35	#1273	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#446	—	2	8	no	—
58	#446	—	4	4	no	—
59	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
60	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
61	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
62	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
63	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
64	C₄×Q₁₆	D₄	1	8	yes	—
65	C₂×#107	—	2	4	no	—
66	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#103	—	2	8	no	—
72	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#97	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#336	—	2	4	no	—
89	#336	—	2	4	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	1	no	—
92	#336	D₄	1	2	yes	—
93	#335	—	2	4	no	—
94	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
95	Q₈⋊C₈	—	4	4	no	—
96	C₈²	—	2	4	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
103	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
104	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
111	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₂×Q₁₆	M₁₆	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
128	C₂²×C₈	M₁₆	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
141	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
144	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	#107	—	2	2	no	—
167	#107	—	2	4	no	—
168	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
172	#103	—	2	4	no	—
173	#103	—	2	4	no	—
174	#103	—	2	4	no	—
175	#103	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
179	C₂²⋊C₈	Q₁₆	1	4	yes	complemented
180	#97	—	4	8	no	—
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	—	2	2	no	—
185	C₄×C₈	—	2	2	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
208	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
228	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	Q₁₆	—	2	16	no	—
239	Q₁₆	—	2	8	no	—
240	Q₁₆	—	2	8	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	complemented
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
276	C₄²	—	2	1	no	—
277	C₄²	—	2	1	no	—
278	C₄²	—	2	8	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	4	4	no	—
282	C₄²	—	4	4	no	—
283	C₄²	—	4	4	no	—
284	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	#436	1	2	yes	—
291	C₂³	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
292	C₂³	#443	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	2	4	no	—
295	Q₈	—	2	4	no	—
296	Q₈	—	2	4	no	—
297	Q₈	—	2	4	no	—
298	Q₈	—	4	16	no	—
299	Q₈	—	4	2	no	—
300	Q₈	—	4	2	no	—
301	Q₈	—	4	2	no	—
302	Q₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	16	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	8	no	—
333	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
346	C₈	—	2	2	no	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	4	no	—
349	C₈	—	4	4	no	—
350	C₈	—	4	1	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	8	4	no	—
353	C₈	#407	1	4	yes	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	#1591	1	4	yes	complemented
361	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#2950	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	4	4	no	—
372	C₄	—	4	4	no	—
373	C₄	—	4	1	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	8	2	no	—
376	C₄	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2974	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2975	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#3285	1	2	yes	—
381	C₄	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
382	C₂	—	2	4	no	—
383	C₂	C₂×#1591	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#17897	1	1	yes	characteristic
385	C₂	M₁₆×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#18058	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#22401	1	1	yes	characteristic
388	C₂	C₂²⋊C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#22454	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1591	C₂	semidirect
4. #9656	C₂	semidirect
5. #8950	C₂	semidirect
179. C₂²⋊C₈	Q₁₆	semidirect
266. C₂×C₈	C₂×Q₁₆	semidirect
360. C₂²	#1591	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₁₆	2
#22510	2
C₂×#1591	2
#9656	2
#8950	2
#8596	2
#8311	2
C₈×C₂²⋊C₈	2