Subgroups — #220176

Order 512.

966 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 438 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22474	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9662	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8949	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8945	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8315	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8145	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#529	C₂²	1	2	yes	—
11	#3168	—	2	8	no	—
12	C₂×#499	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#495	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#488	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#467	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#466	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#465	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1984	C₂²	1	2	yes	—
25	#1984	C₂²	1	2	yes	—
26	#1870	—	2	2	no	—
27	#1869	—	2	2	no	—
28	#1818	—	2	2	no	—
29	#1797	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1729	—	2	2	no	—
33	#1581	—	2	8	no	—
34	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
40	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1273	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	#529	—	2	4	no	—
51	#529	—	2	4	no	—
52	#529	—	4	2	no	—
53	#529	—	4	2	no	—
54	C₂×#126	—	2	2	no	—
55	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#123	—	2	2	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#117	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#499	—	2	4	no	—
66	#495	—	2	4	no	—
67	#488	—	2	8	no	—
68	#467	—	2	4	no	—
69	#466	—	2	4	no	—
70	#465	—	2	8	no	—
71	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
72	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
73	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
74	C₄×D₈	D₄	1	8	yes	—
75	#436	—	2	4	no	—
76	#436	—	4	2	no	—
77	C₈×D₄	—	2	4	no	—
78	C₈×D₄	—	4	2	no	—
79	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#336	—	2	2	no	—
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#336	—	2	1	no	—
106	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
107	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
108	#335	—	2	4	no	—
109	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
110	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
111	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
112	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
113	#322	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
121	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
127	C₂×D₈	—	4	1	no	—
128	C₂×D₈	—	4	1	no	—
129	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	#126	—	4	4	no	—
152	#126	—	4	4	no	—
153	#125	—	2	4	no	—
154	#125	—	4	2	no	—
155	#124	—	2	4	no	—
156	#124	—	4	2	no	—
157	#123	—	4	4	no	—
158	#123	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
161	#121	—	2	4	no	—
162	#121	—	4	2	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
167	C₄×D₄	—	2	2	no	—
168	C₄×D₄	—	2	2	no	—
169	C₄×D₄	—	4	4	no	—
170	C₄×D₄	—	4	4	no	—
171	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	#117	—	4	4	no	—
174	#117	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	#107	—	2	2	no	—
194	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
195	#106	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	#103	—	2	4	no	—
201	#103	—	2	4	no	—
202	#102	—	2	4	no	—
203	#102	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	C₄×C₈	—	2	2	no	—
215	C₄×C₈	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂⁴	—	2	2	no	—
218	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	8	2	no	—
233	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	Q₁₆	—	4	4	no	—
263	SD₁₆	—	4	8	no	—
264	D₈	—	4	4	no	—
265	M₁₆	—	8	8	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	1	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	1	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	1	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	2	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	—	8	8	no	—
292	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	2	1	no	—
312	C₄²	—	2	1	no	—
313	C₄²	—	2	2	no	—
314	C₄²	—	2	2	no	—
315	C₄²	—	4	2	no	—
316	C₄²	—	4	2	no	—
317	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
319	C₂³	—	2	1	no	—
320	C₂³	—	2	1	no	—
321	C₂³	—	2	1	no	—
322	C₂³	—	2	1	no	—
323	C₂³	—	2	1	no	—
324	C₂³	—	2	1	no	—
325	C₂³	—	2	4	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	#444	1	2	yes	—
333	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	4	2	no	—
335	Q₈	—	4	2	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	Q₈	—	4	2	no	—
338	D₄	—	2	4	no	—
339	D₄	—	2	4	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	D₄	—	4	2	no	—
342	D₄	—	8	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	1	no	—
345	C₂×C₄	—	2	1	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	2	1	no	—
351	C₂×C₄	—	2	1	no	—
352	C₂×C₄	—	2	1	no	—
353	C₂×C₄	—	2	1	no	—
354	C₂×C₄	—	2	1	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	1	no	—
360	C₂×C₄	—	4	1	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
385	C₈	—	2	2	no	—
386	C₈	—	2	2	no	—
387	C₈	—	2	2	no	—
388	C₈	—	2	4	no	—
389	C₈	—	4	1	no	—
390	C₈	—	4	2	no	—
391	C₈	—	8	2	no	—
392	C₈	—	8	2	no	—
393	C₈	—	8	2	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	4	1	no	—
398	C₂²	—	4	1	no	—
399	C₂²	—	4	1	no	—
400	C₂²	—	4	1	no	—
401	C₂²	—	4	4	no	—
402	C₂²	—	4	4	no	—
403	C₂²	—	4	4	no	—
404	C₂²	—	8	2	no	—
405	C₂²	—	8	2	no	—
406	C₂²	—	8	2	no	—
407	C₂²	—	8	2	no	—
408	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#2932	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	#2951	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
415	C₄	—	2	2	no	—
416	C₄	—	4	1	no	—
417	C₄	—	4	1	no	—
418	C₄	—	4	4	no	—
419	C₄	—	4	1	no	—
420	C₄	—	8	2	no	—
421	C₄	—	8	2	no	—
422	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
424	C₄	#2980	1	1	yes	characteristic
425	C₄	#2981	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#3280	1	2	yes	—
427	C₄	#3283	1	2	yes	—
428	C₂	—	4	2	no	—
429	C₂	—	8	4	no	—
430	C₂	#17978	1	1	yes	characteristic
431	C₂	#17992	1	1	yes	characteristic
432	C₂	#18070	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#18092	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#22403	1	1	yes	characteristic
435	C₂	#22448	1	1	yes	characteristic
436	C₂	#22452	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#466	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22474	C₂	semidirect
3. C₂×#1581	C₂	semidirect
4. #9662	C₂	semidirect
5. #8949	C₂	semidirect
6. #8945	C₂	semidirect
7. #8596	C₂	semidirect
8. #8315	C₂	semidirect
9. #8145	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3168	2
#22474	2
C₂×#1581	2
#9662	2
#8949	2
#8945	2
#8596	2
#8315	2
#8145	2