Subgroups — #220178

Order 512.

900 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22509	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1584	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9662	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#8950	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8946	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#8314	C₂	1	2	yes	maximal
9	#8145	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
11	#3170	—	2	8	no	—
12	C₂×#500	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#494	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#487	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#467	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#467	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#467	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1985	—	2	2	no	—
25	#1984	—	2	2	no	—
26	#1984	C₂²	1	2	yes	—
27	#1984	C₂²	1	2	yes	—
28	#1798	—	2	2	no	—
29	#1797	C₂²	1	2	yes	—
30	#1750	—	2	2	no	—
31	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1584	—	2	8	no	—
34	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
40	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1277	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1273	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	#533	—	2	4	no	—
49	#533	—	2	4	no	—
50	#533	—	4	2	no	—
51	#533	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#125	—	2	2	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#117	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#500	—	2	4	no	—
64	#494	—	2	4	no	—
65	#487	—	2	8	no	—
66	#467	—	2	4	no	—
67	#467	—	2	4	no	—
68	#467	—	2	8	no	—
69	#446	—	2	4	no	—
70	#446	—	4	2	no	—
71	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
72	C₈×Q₈	—	4	2	no	—
73	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
74	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
75	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
76	C₄×Q₁₆	D₄	1	8	yes	—
77	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#97	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#336	—	2	2	no	—
106	#336	—	2	1	no	—
107	#336	D₄	1	2	yes	—
108	#335	—	2	4	no	—
109	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
110	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
111	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
112	Q₈⋊C₈	—	4	2	no	—
113	#322	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
120	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
128	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
148	#125	—	4	4	no	—
149	#125	—	4	4	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
163	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
164	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	#117	—	4	4	no	—
167	#117	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	#107	—	2	2	no	—
188	#107	—	2	4	no	—
189	#107	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
196	#103	—	2	4	no	—
197	#103	—	2	4	no	—
198	#103	—	2	4	no	—
199	#103	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
203	C₂²⋊C₈	Q₁₆	1	4	yes	complemented
204	#97	—	4	4	no	—
205	C₄×C₈	—	2	2	no	—
206	C₄×C₈	—	2	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	—	4	4	no	—
213	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
229	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	Q₁₆	—	4	4	no	—
254	Q₁₆	—	4	8	no	—
255	Q₁₆	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄²	—	2	1	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	4	2	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
310	C₂³	—	2	1	no	—
311	C₂³	—	2	1	no	—
312	C₂³	—	2	1	no	—
313	C₂³	—	2	1	no	—
314	C₂³	—	2	1	no	—
315	C₂³	—	2	1	no	—
316	C₂³	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
317	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
318	Q₈	—	2	4	no	—
319	Q₈	—	2	4	no	—
320	Q₈	—	4	2	no	—
321	Q₈	—	4	2	no	—
322	Q₈	—	4	2	no	—
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	Q₈	—	4	2	no	—
325	Q₈	—	4	2	no	—
326	Q₈	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#444	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
368	C₈	—	2	2	no	—
369	C₈	—	2	2	no	—
370	C₈	—	2	2	no	—
371	C₈	—	2	4	no	—
372	C₈	—	4	1	no	—
373	C₈	—	4	2	no	—
374	C₈	—	8	2	no	—
375	C₈	—	8	2	no	—
376	C₈	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	4	1	no	—
381	C₂²	—	4	1	no	—
382	C₂²	—	4	1	no	—
383	C₂²	—	4	1	no	—
384	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#2932	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#2950	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#2957	1	1	yes	characteristic
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	4	1	no	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	4	4	no	—
397	C₄	—	8	2	no	—
398	C₄	—	8	2	no	—
399	C₄	#2879	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#2980	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#2981	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#3285	1	2	yes	—
404	C₄	D₄×Q₁₆	1	2	yes	—
405	C₂	—	4	2	no	—
406	C₂	#17977	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#17991	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#18068	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#18090	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#22403	1	1	yes	characteristic
411	C₂	C₂²⋊C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#22452	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1584	C₂	semidirect
4. #9662	C₂	semidirect
5. #8950	C₂	semidirect
6. #8946	C₂	semidirect
203. C₂²⋊C₈	Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3170	2
#22509	2
C₂×#1584	2
#9662	2
#8950	2
#8946	2
#8596	2
#8314	2
#8145	2