Subgroups — #220180

Order 512.

1181 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 399 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17854	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17350	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9668	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9089	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8601	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8156	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
11	#2972	C₂²	1	4	yes	complemented
12	#2948	—	2	4	no	—
13	#2948	—	2	4	no	—
14	C₂×#442	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#427	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#418	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1580	—	2	4	no	—
24	C₈×D₈	—	2	4	no	—
25	#1564	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#1478	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#1478	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1460	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#1459	—	2	4	no	—
30	#1458	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1458	C₂²	1	2	yes	—
32	#1458	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#323	—	2	4	no	—
34	#1450	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#1281	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#1275	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
41	C₂²×D₈	C₈	1	8	yes	complemented
42	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	#518	—	2	8	no	—
48	#518	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
59	#442	—	2	8	no	—
60	#442	—	2	8	no	—
61	C₄×D₈	—	2	2	no	—
62	C₄×D₈	—	2	2	no	—
63	C₄×D₈	—	2	2	no	—
64	C₄×D₈	—	2	2	no	—
65	C₄×D₈	—	2	2	no	—
66	C₄×D₈	—	2	2	no	—
67	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
68	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
69	C₈×D₄	—	2	8	no	—
70	C₈×D₄	—	4	4	no	—
71	#431	C₂³	1	2	yes	—
72	#431	C₂³	1	4	yes	—
73	#431	C₂³	1	2	yes	—
74	#427	—	2	2	no	—
75	#427	—	2	2	no	—
76	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#418	—	2	8	no	—
80	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
85	#405	—	2	2	no	—
86	#405	—	2	2	no	—
87	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#335	—	2	2	no	—
92	#334	—	2	2	no	—
93	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
94	D₄⋊C₈	—	4	4	no	—
95	#324	—	2	2	no	—
96	#324	—	2	1	no	—
97	#324	D₄	1	2	yes	—
98	#323	—	2	2	no	—
99	#323	—	2	1	no	—
100	#323	—	2	8	no	—
101	#323	D₄	1	2	yes	—
102	#322	—	2	2	no	—
103	C₈²	—	2	2	no	—
104	C₂⁵	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
111	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
112	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×D₈	—	2	4	no	—
120	C₂×D₈	—	2	4	no	—
121	C₂×D₈	—	2	16	no	—
122	C₂×D₈	—	2	16	no	—
123	C₂×D₈	—	2	1	no	—
124	C₂×D₈	—	2	1	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
128	C₂×D₈	C₂×C₈	1	4	yes	—
129	C₂×D₈	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
130	C₂×D₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
131	C₂×D₈	M₁₆	1	4	yes	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
139	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	4	no	—
146	C₄×D₄	—	2	4	no	—
147	C₄×D₄	—	2	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	4	2	no	—
150	C₄×D₄	—	4	2	no	—
151	C₄×D₄	—	4	8	no	—
152	C₄×D₄	—	4	8	no	—
153	C₄×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	4	no	—
157	#117	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	#107	—	2	1	no	—
175	#107	—	2	1	no	—
176	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	#106	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	#102	—	2	4	no	—
183	#102	—	2	4	no	—
184	#102	—	2	4	no	—
185	#102	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
189	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	#97	—	2	2	no	—
191	#97	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	—	2	4	no	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂⁴	—	2	2	no	—
200	C₂⁴	—	2	2	no	—
201	C₂⁴	—	2	8	no	—
202	C₂⁴	—	4	4	no	—
203	C₂⁴	—	4	4	no	—
204	C₂⁴	—	16	2	no	—
205	C₂⁴	—	16	2	no	—
206	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×D₄	—	2	16	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
223	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
224	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
225	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
240	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	D₈	—	2	16	no	—
249	D₈	—	2	4	no	—
250	D₈	—	2	4	no	—
251	D₈	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
252	D₈	C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	16	8	no	—
267	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄²	—	2	1	no	—
287	C₄²	—	2	1	no	—
288	C₄²	—	4	4	no	—
289	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
291	C₂³	—	2	1	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	4	16	no	—
298	C₂³	—	4	1	no	—
299	C₂³	—	4	1	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	8	2	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	—	16	4	no	—
307	C₂³	—	16	4	no	—
308	C₂³	—	16	8	no	—
309	C₂³	—	16	8	no	—
310	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
311	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
312	D₄	—	2	4	no	—
313	D₄	—	2	4	no	—
314	D₄	—	2	4	no	—
315	D₄	—	2	4	no	—
316	D₄	—	2	4	no	—
317	D₄	—	4	16	no	—
318	D₄	—	4	2	no	—
319	D₄	—	4	2	no	—
320	D₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	8	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	16	4	no	—
339	C₂×C₄	—	16	4	no	—
340	C₂×C₄	—	16	4	no	—
341	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	—	4	4	no	—
353	C₈	—	4	1	no	—
354	C₈	—	8	2	no	—
355	C₈	—	8	4	no	—
356	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
357	C₈	C₂×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	8	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	1	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	4	1	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	—	8	2	no	—
374	C₂²	—	8	2	no	—
375	C₂²	—	16	16	no	—
376	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	4	1	no	—
383	C₄	—	4	4	no	—
384	C₄	—	4	1	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#2972	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#2974	1	1	yes	characteristic
390	C₂	—	2	1	no	—
391	C₂	—	2	1	no	—
392	C₂	—	4	2	no	—
393	C₂	—	4	8	no	—
394	C₂	—	8	4	no	—
395	C₂	D₄×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#22455	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#22458	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #17854	C₂	semidirect
3. #17350	C₂	semidirect
4. #9668	C₂	semidirect
5. #9089	C₂	semidirect
6. #8601	C₂	semidirect
7. #8322	C₂	semidirect
8. #8156	C₂	semidirect
11. #2972	C₂²	semidirect
25. #1564	C₂²	semidirect
26. #1478	C₂²	semidirect
27. #1478	C₂²	semidirect
28. #1460	C₂²	semidirect
34. #1450	C₂²	semidirect
35. #1281	C₂²	semidirect
36. #1275	C₂²	semidirect
41. C₂²×D₈	C₈	semidirect
111. C₂²×D₄	C₂×C₈	semidirect
129. C₂×D₈	C₂×C₈	semidirect
130. C₂×D₈	C₂×C₈	semidirect
139. C₂²×C₈	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2948	2
#17854	2
#17350	2
#9668	2
#9089	2
#8601	2
#8322	2
#8156	2