Subgroups — #220194

Order 512.

1001 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#17897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17371	C₂	1	2	yes	maximal
4	#9669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9092	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8601	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#8323	C₂	1	2	yes	maximal
8	#8156	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂³×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
11	#2983	C₂²	1	4	yes	—
12	#2950	—	2	4	no	—
13	#2950	—	2	4	no	—
14	C₂×#441	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#441	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#427	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#419	C₄	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1593	—	2	4	no	—
24	#1591	—	2	4	no	—
25	#1564	C₂²	1	2	yes	—
26	#1479	C₂²	1	4	yes	—
27	#1479	C₂²	1	4	yes	—
28	#1467	—	2	4	no	—
29	#1464	—	2	4	no	—
30	#1461	C₂²	1	4	yes	—
31	#1458	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1458	C₂²	1	2	yes	—
33	#1458	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1450	C₂²	1	2	yes	—
35	#1281	C₂²	1	2	yes	—
36	#1275	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	#519	—	2	8	no	—
48	#519	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#117	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#446	—	2	8	no	—
60	#446	—	4	4	no	—
61	#441	—	2	8	no	—
62	#441	—	2	8	no	—
63	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
64	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
65	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
66	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
67	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
68	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
69	C₄×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
70	C₄×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
71	#432	—	2	8	no	—
72	#431	C₂³	1	2	yes	—
73	#431	C₂³	1	4	yes	—
74	#431	C₂³	1	2	yes	—
75	#427	—	2	2	no	—
76	#427	—	2	2	no	—
77	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#419	—	2	8	no	—
81	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#405	—	2	2	no	—
86	#405	—	2	2	no	—
87	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#335	—	2	2	no	—
92	#334	—	2	2	no	—
93	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
94	Q₈⋊C₈	—	4	4	no	—
95	#324	—	2	2	no	—
96	#324	—	2	1	no	—
97	#324	—	2	8	no	—
98	#324	D₄	1	2	yes	—
99	#323	—	2	2	no	—
100	#323	—	2	1	no	—
101	#323	D₄	1	2	yes	—
102	#322	—	2	2	no	—
103	C₈²	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
111	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₂×Q₁₆	M₁₆	1	4	yes	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	M₁₆	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
145	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
147	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
148	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	—	4	8	no	—
153	#117	—	4	8	no	—
154	#117	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	#107	—	2	1	no	—
174	#107	—	2	1	no	—
175	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	#106	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
182	#103	—	2	4	no	—
183	#103	—	2	4	no	—
184	#103	—	2	4	no	—
185	#103	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	#97	—	2	2	no	—
190	#97	—	2	2	no	—
191	#97	—	4	8	no	—
192	C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	2	no	—
196	C₄×C₈	—	2	4	no	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	Q₁₆	—	2	16	no	—
239	Q₁₆	—	2	4	no	—
240	Q₁₆	—	2	4	no	—
241	Q₁₆	—	2	4	no	—
242	Q₁₆	—	2	4	no	—
243	M₁₆	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	2	1	no	—
277	C₄²	—	2	8	no	—
278	C₄²	—	4	4	no	—
279	C₄²	—	4	4	no	—
280	C₄²	—	4	4	no	—
281	C₄²	—	4	4	no	—
282	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	4	1	no	—
287	C₂³	—	4	1	no	—
288	C₂³	#436	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	2	4	no	—
291	Q₈	—	2	4	no	—
292	Q₈	—	2	4	no	—
293	Q₈	—	2	4	no	—
294	Q₈	—	4	16	no	—
295	Q₈	—	4	2	no	—
296	Q₈	—	4	2	no	—
297	Q₈	—	4	2	no	—
298	Q₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	16	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	#436	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	—	2	2	no	—
333	C₈	—	4	4	no	—
334	C₈	—	4	1	no	—
335	C₈	—	8	4	no	—
336	C₈	—	8	2	no	—
337	C₈	#407	1	2	yes	—
338	C₈	#407	1	2	yes	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	1	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	1	no	—
345	C₂²	—	4	1	no	—
346	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	4	no	—
354	C₄	—	4	1	no	—
355	C₄	—	4	1	no	—
356	C₄	—	4	4	no	—
357	C₄	—	8	2	no	—
358	C₄	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2880	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#2974	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#2975	1	1	yes	characteristic
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	4	2	no	—
365	C₂	#22401	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#22457	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#22460	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₄×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #17897	C₂	semidirect
4. #9669	C₂	semidirect
5. #9092	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2950	2
#17897	2
#17371	2
#9669	2
#9092	2
#8601	2
#8323	2
#8156	2