Subgroups — #220356

Order 512.

1362 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×#100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#18044	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#9811	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9253	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8614	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#8383	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#8164	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×D₈	C₄	1	2	yes	—
10	C₂×D₄²	C₂²	1	2	yes	—
11	D₄×D₈	—	2	2	no	—
12	D₄×D₈	—	2	4	no	—
13	D₄×D₈	—	2	2	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#466	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#447	C₄	1	4	yes	—
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	D₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#100	—	2	2	no	—
22	#1965	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#1900	—	2	4	no	—
24	#1800	C₂²	1	2	yes	—
25	#1783	—	2	2	no	—
26	C₄×#100	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1594	—	2	2	no	—
28	#1586	—	2	4	no	—
29	#1580	—	2	2	no	—
30	#1566	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#1545	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#1486	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#1460	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1451	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#1292	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#1283	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
43	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	D₄²	—	2	4	no	—
50	D₄²	—	2	4	no	—
51	D₄²	—	4	4	no	—
52	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×#120	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#493	—	2	2	no	—
59	#493	—	2	2	no	—
60	#466	—	2	4	no	—
61	#466	—	2	4	no	—
62	#459	—	2	4	no	—
63	#459	—	2	4	no	—
64	#447	—	2	8	no	—
65	#447	—	2	8	no	—
66	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
67	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
68	C₄×D₈	D₄	1	2	yes	—
69	#436	—	2	4	no	—
70	#435	—	4	4	no	—
71	C₈×D₄	—	2	4	no	—
72	C₈×D₄	—	2	2	no	—
73	C₈×D₄	—	2	2	no	—
74	#431	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#423	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×#100	—	2	2	no	—
81	C₂×#100	—	2	4	no	—
82	C₂×#100	—	2	4	no	—
83	C₂×#100	—	4	8	no	—
84	C₂×#100	D₄	1	2	yes	—
85	#407	—	2	4	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#343	—	2	2	no	—
90	#343	D₄	1	2	yes	—
91	#334	—	2	2	no	—
92	#334	—	2	2	no	—
93	#331	—	4	4	no	—
94	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
95	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
96	#323	—	2	2	no	—
97	#322	—	2	2	no	—
98	#322	—	2	2	no	—
99	C₂⁵	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×D₈	—	2	4	no	—
120	C₂×D₈	—	2	4	no	—
121	C₂×D₈	—	2	4	no	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	2	2	no	—
124	C₂×D₈	—	2	4	no	—
125	C₂×D₈	—	4	4	no	—
126	C₂×D₈	—	4	16	no	—
127	C₂×D₈	—	4	8	no	—
128	C₂×D₈	—	4	8	no	—
129	C₂×D₈	—	4	8	no	—
130	C₂×D₈	—	8	2	no	—
131	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
137	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
138	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	#127	—	2	4	no	—
147	#127	—	2	4	no	—
148	#121	—	2	8	no	—
149	#121	—	4	4	no	—
150	#121	—	4	4	no	—
151	#121	—	4	4	no	—
152	#120	—	4	8	no	—
153	#120	—	4	8	no	—
154	C₄×D₄	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	4	no	—
157	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	#107	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
171	#102	—	2	8	no	—
172	#102	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
173	#102	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
174	#100	—	2	4	no	—
175	#100	—	4	8	no	—
176	#100	—	4	4	no	—
177	#100	—	8	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
182	#97	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	—	2	2	no	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	—	4	4	no	—
190	C₂⁴	—	4	4	no	—
191	C₂⁴	—	4	8	no	—
192	C₂⁴	—	8	4	no	—
193	C₂⁴	—	8	8	no	—
194	C₂⁴	—	16	4	no	—
195	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	8	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	8	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	8	4	no	—
217	C₂×D₄	—	8	4	no	—
218	C₂×D₄	—	8	8	no	—
219	C₂×D₄	—	8	8	no	—
220	C₂×D₄	—	8	8	no	—
221	C₂×D₄	—	8	8	no	—
222	C₂×D₄	—	8	16	no	—
223	C₂×D₄	—	8	4	no	—
224	C₂×D₄	—	8	8	no	—
225	C₂×D₄	—	16	2	no	—
226	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₂×D₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
243	D₈	—	2	4	no	—
244	D₈	—	2	2	no	—
245	D₈	—	4	4	no	—
246	D₈	—	4	8	no	—
247	D₈	—	4	8	no	—
248	D₈	—	4	4	no	—
249	D₈	—	8	4	no	—
250	D₈	#100	1	4	yes	complemented
251	M₁₆	—	2	4	no	—
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	M₁₆	—	4	4	no	—
255	M₁₆	—	8	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	8	8	no	—
266	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	8	no	—
292	C₂³	—	8	8	no	—
293	C₂³	—	8	8	no	—
294	C₂³	—	8	4	no	—
295	C₂³	—	8	4	no	—
296	C₂³	—	8	8	no	—
297	C₂³	—	16	4	no	—
298	C₂³	—	16	4	no	—
299	C₂³	—	16	16	no	—
300	C₂³	—	16	16	no	—
301	C₂³	#442	1	4	yes	—
302	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
303	D₄	—	2	2	no	—
304	D₄	—	2	2	no	—
305	D₄	—	2	2	no	—
306	D₄	—	2	8	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	8	4	no	—
311	D₄	—	8	8	no	—
312	D₄	—	8	16	no	—
313	D₄	—	8	8	no	—
314	D₄	—	8	4	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	D₄	—	16	4	no	—
317	D₄	C₂×#100	1	4	yes	complemented
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
339	C₈	—	2	1	no	—
340	C₈	—	2	2	no	—
341	C₈	—	4	2	no	—
342	C₈	—	4	4	no	—
343	C₈	—	8	2	no	—
344	C₈	—	8	4	no	—
345	C₈	C₂×#100	1	2	yes	complemented
346	C₂²	—	2	1	no	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	8	4	no	—
360	C₂²	—	8	4	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	16	4	no	—
365	C₂²	—	16	4	no	—
366	C₂²	—	16	16	no	—
367	C₂²	—	16	16	no	—
368	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2888	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#3264	1	4	yes	—
378	C₂	—	2	1	no	—
379	C₂	—	2	1	no	—
380	C₂	—	4	4	no	—
381	C₂	—	4	4	no	—
382	C₂	—	8	2	no	—
383	C₂	—	16	4	no	—
384	C₂	D₄×#100	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#22436	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#22458	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×D₄×D₈	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×#100	C₂	semidirect
3. #18044	C₂	semidirect
4. #9811	C₂	semidirect
5. #9253	C₂	semidirect
6. #8614	C₂	semidirect
7. #8383	C₂	semidirect
8. #8164	C₂	semidirect
19. D₄×M₁₆	C₂²	semidirect
22. #1965	C₂²	semidirect
30. #1566	C₂²	semidirect
31. #1545	C₂²	semidirect
32. #1486	C₂²	semidirect
34. #1451	C₂²	semidirect
35. #1292	C₂²	semidirect
36. #1283	C₂²	semidirect
250. D₈	#100	semidirect
317. D₄	C₂×#100	semidirect
345. C₈	C₂×#100	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×D₈	2
D₄×#100	2
#18044	2
#9811	2
#9253	2
#8614	2
#8383	2
#8164	2